Refuerzo de un polígono sin triángulos

Question

La siguiente gráfica de Laman apuntala un cuadrado sin triángulos. Dicho de otra manera, este es un gráfico rígido de unidad de distancia sin 3 ciclos. Parece ser el ejemplo más pequeño de un polígono arriostrado sin triángulos . Esto pasa a ser un subgrafo del gráfico de cubo de unidades de palos .

¿Qué otros polígonos regulares tienen construcciones rígidas sin triángulos?

Answer 1

Cualquier marco rígido, por lo tanto, todos los polígonos regulares, se puede convertir en un equivalente sin triángulos. Simplemente encadenando copias del$12$-El cuadrado arriostrado sin triángulo de vértice que se muestra en la pregunta (que descubrí) a lo largo de los dos bordes colineales da un segmento de línea rígida de longitud arbitraria de números enteros sin triángulos:

Luego, cualquier cuadrícula triangular se puede imitar sin triángulos de la siguiente manera (todos los bordes fucsia rectos están hechos con la construcción de encadenamiento del gráfico anterior, todos los bordes negros son palos individuales):

Por ejemplo, para apuntalar el hexágono sin triángulos:

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Sin embargo, el arriostramiento hexagonal anterior es bastante grande. Otro enfoque para el arriostramiento sin triángulos es el borde virtual : en cualquier incrustación del gráfico cúbico con un borde eliminado, la distancia entre los dos grados-$2$ vértices (incidentes al borde faltante) siempre deben ser $1$. Esto conduce al siguiente hexágono regular rígido sin triángulos en$16$ vértices y $29$bordes ( prueba de confirmación de Shibuya ):

Las dos versiones que se muestran arriba son teóricamente isomórficas; sus coordenadas tienen los mismos polinomios mínimos. En particular, utilizando la parametrización en Shibuya, el$x$-coordinada de vértice $7$ satisface $$12x^2-6(\alpha+2)x+(\alpha^2+4\alpha+1)=0,\ \alpha=\sqrt[3]3$$ $$(864x^6-2592x^5+2808x^4-1296x^3+342x^2-207x+83=0)$$( Gracias Hulpke por señalarme la función GAP DecomPolyque me permitió obtener el primer polinomio). Las líneas débiles en la segunda versión muestran que el gráfico rígido está relacionado con el orden-$4$ gráfico de hipercubo.

Answer 2

Como apéndice a la respuesta de Parcly Taxel, sus refuerzos hexagonales son un subconjunto de toda una familia 2DOF de refuerzos hexagonales. Aquí hay dos miembros especialmente simétricos de esta familia. (Las líneas de puntos indican separaciones de unidades que no se incluyen como bordes).