Regularización dimensional de la autoenergía de Electron del libro de Ryder
Estoy estudiando la energía propia de los electrones usando el libro de texto de Ryder. En la página 334 podemos ver
Definición$k'=k-pz$y evitando el término lineal en$k'$(porque se integra a cero) da \begin{ecuación} \Sigma(p)=-ie^2\mu^{4-d}\int_0^1dz\gamma_\mu({\not} p-{\not} p z+m)\gamma^\mu\int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1 -z)]^2}.\label{r2.7}\end{equation} [...] Esta integral se realiza con la ayuda de la ecuación (9A.5), dando \begin{equation} \Sigma(p )=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dz\gamma_ \mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}. \end{ecuación}
La ecuación 9A.5 es \begin{ecuación} \int\frac{d^dp}{(p^2+2pq-m^2)^{\alpha}}=(-1)^{d/2}\ imath\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(\alpha-\frac{d}{2}\right)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{[-q^ 2-m^2]^{\alpha-d/2}} .\tag{9A.5} \end{equation} No entiendo cómo aplicó esta integral (9A.5) para obtener el resultado \begin {ecuación} \Sigma(p)=\mu^{4-d}e^2\frac{\Gamma(2-\frac{d}{2})}{(4\pi)^{d/2} }\int_0^1dz\gamma_\mu[{\not}p(1-z)+m]\gamma^\nu[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2 }. \end{ecuación} por favor ayúdame a tener una idea.
Respuestas
Es solo cuestión de aplicar el resultado (9A.5) a la integral en$d^d k^\prime$. de hecho llama$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$y pon$q=0$en la integral (9A.5)$$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$
donde acabamos de cambiar la variable de integración de$k^\prime$a$p$para que quede más claro a partir del resultado 9A.5. Usando el hecho de que$\Gamma(2) = 1$, utilizando la definición anterior de$M^2$y simplificando un poco se obtiene$$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$donde usamos el hecho de que$2^d = 4^{d/2}$
Compare el segundo integrando en la primera ecuación con ty he en el gran en 9A5. ves eso$\alpha \rightarrow 2$,$q \rightarrow 0$,$ -m^2 \rightarrow etc.$transformará un integrando en el otro. Hacer las mismas sustituciones en la derecha de 9A5 debería darte el resultado deseado.