Representa una función como una diferencia de dos funciones convexas

Question

Yo se que si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es $C^2$se puede reescribir como una diferencia de dos funciones convexas. Le pregunto si hay alguien que sepa si es posible extender esta propiedad a la función que tiene$\mathbb{R}^n$ como dominio.

Answer 1

Es posible, por ejemplo:

Si $f \in C^2(D,\mathbb{R})$ y $D$ un subconjunto no vacío, convexo y compacto de $\mathbb{R}^n$, entonces $f$ es una función de cd, es decir, la diferencia de dos funciones convexas.

La prueba no se puede hacer de la misma manera que en $\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que en esta declaración necesita un subconjunto compacto .

Aquí hay una referencia (respuesta de Sanjo): https://math.stackexchange.com/a/843020/797553

Para un uso de prueba $g(x)=f(x) + \rho/2 \cdot x^Tx$ y $h(x)=\rho/2 \cdot x^Tx$, dónde $\rho=\left| ~min ~\{\lambda_{min}(Hessf(x)): x\in D\} ~\right|$. Entonces$f=g-h$. Tenga en cuenta que$\rho$ solo existe como $D$ es compacto.

EDITAR: Para $D=\mathbb{R}^n$la afirmación sigue siendo cierta. (ver [Konno H., Thach PT, Tuy H. (1997) Funciones de CC y conjuntos de CC. En: Optimización en estructuras no convexas de bajo rango. Optimización no convexa y sus aplicaciones, vol. 15. Springer, Boston, MA]). En este libro también encontrará una prueba de la declaración anterior.