Representación matricial de los grupos de orden no belianos $p^3$?

Aug 16 2020

Cuando miras grupos de orden $p^3$ (por extraño $p$) existen $2$los no belianos. Uno es el grupo de Heisenberg, que puede verse como un producto semidirecto de$C_p \times C_p$ y $C_p$.

Basado en algunos cálculos con GAP, veo que el otro es un producto semidirecto de $C_{p^2}$ con $C_p$.

¿Puede este otro grupo ser visto como un grupo de matriz familiar?


gap> c := AllSmallGroups( 3^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 27 with 3 generators>, <pc group of size 27 with 3 generators> ]
gap> c[1];
<pc group of size 27 with 3 generators>
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C3 x C3) : C3"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C9 : C3"
gap> c := AllSmallGroups( 5^3, IsAbelian, false );
[ <pc group of size 125 with 3 generators>, <pc group of size 125 with 3 generators> ]
gap> StructureDescription(c[1]);
"(C5 x C5) : C5"
gap> StructureDescription(c[2]);
"C25 : C5"

Respuestas

3 DavidA.Craven Aug 16 2020 at 19:27

En una palabra, 'no'. Darse cuenta de$\mathrm{GL}_n(q)$ para $q$ un poder de $p$ no puede tener ningún elemento de orden $p^2$ a no ser que $n>p$. Así como$p$ crece el tamaño del grupo matriz tiene que crecer.

Es una historia similar sobre campos de características no $p$. Ninguna$1$-Las representaciones dimensionales del grupo tienen el centro en el núcleo. Las únicas representaciones fieles tienen grado al menos$p$.

Así que este grupo no tiene una representación fiel de grado menor que $p$ sobre cualquier campo.

Editar: No hay representación matricial sobre ningún campo, pero sí sobre un anillo . Este grupo está dado por$$ \left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}\,\right|\, a,b\in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\;a\equiv 1\bmod p\right\}.$$

Descubrí esto mirando las notas de Keith Conrad hace un momento.