Resolver $n < e^{6 \sqrt{n}}$

Question

Encuentre para qué valores de $n \in \mathbb{N}$ sostiene eso $$n < e^{6 \sqrt{n}}.$$

Traté de usar la desigualdad $(1 + x) \leq e^x$, pero a partir de esto, solo puedo encontrar que la desigualdad es válida para $n > 36$. Pero necesito conseguir$n$ lo más pequeño posible.

También probé la inducción en $n$, pero me atasqué en el paso de inducción. En particular, al mostrar que$e^{6\sqrt{n}} + 1 \leq e^{6\sqrt{n+1}}$.

Agradezco cualquier ayuda y sugerencia.

Answer 1

Tenemos $e^{3x} > 3x \ge x$ para $x\ge 0$. Aplicar esto a$x = \sqrt{n}$ Llegar $e^{3\sqrt{n}} > \sqrt{n}$. Cuadre ambos lados y tiene$e^{6\sqrt{n}} > n$ para todos $n\ge 0$.

Answer 2

(Según la sugerencia del usuario 2661923, consulte los comentarios anteriores).

lo puse $f(x) = e^{6\sqrt{x}} - x$. La primera derivación de$f(x)$ es $$f'(x) = 3 \frac{e^{6\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - 1.$$

Notamos eso $f(1) = e^6 - 1 > 0$. Además, no es difícil comprobar que$f'(x) > 0$ para $x \in [1, +\infty)$. Así$f$ está aumentando en $[1, +\infty)$ y $f(1) > 0$. Por lo tanto$f(x) > 0$ para todos $x \in [1, +\infty)$. Implica que$x < e^{6\sqrt{x}}.$

Y mi pregunta sigue fácilmente.

Answer 3

La desigualdad es válida para todos los positivos $x$, tan efectivamente que una prueba parece excesiva :-)

(Darse cuenta de $0<e^{6\sqrt0}$ y $1<\dfrac6{2\sqrt x}e^{6\sqrt x}$.)

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O usando Taylor,

$$n<1+6\sqrt n+18n+\cdots$$