Resolver un sistema acoplado de EDO lineales (un segundo orden, el otro primer orden)
Tengo dos EDO acopladas para $T(x)$ y $t(x)$:
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
$\alpha, \beta$ y $K$ son constantes $>0$. Además, se sabe que$t(x=0)=t_i$. Además, para$(1)$ sabemos:
$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$
Necesito determinar $T(x)$ y $t(x)$. ¿Alguien puede sugerir una forma de avanzar con este problema?
Probablemente este sistema de ecuaciones acopladas se pueda resolver utilizando el método matricial, pero no lo conozco. Normalmente resuelvo una sola ecuación usando el método del factor de integración o usando una ecuación característica y encontrando las raíces.
Respuestas
$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$
$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$
INSINUACIÓN :
Desde $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$
$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$
Poniéndolos en $(1)$ :
$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$
$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$Esta es una EDO lineal con coeficientes constantes. Supongo que puedes tomarlo desde aquí.
Insinuación :
Sustituir $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ en $(1)$ :
$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$
Entonces resuelve para $\frac{dt(x)}{dx}$.