Resolver un sistema de ecuaciones no lineales: mostrar unicidad o multiplicidad de soluciones

Aug 19 2020

Considere este sistema de $12$ ecuaciones $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ dónde

  • $\alpha \in \left[0,1\right]$

  • $p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$

  • $c_{i}, d_{i}, e_{i}$ son números reales $\forall i = 1, 2, 3, 4$.

Quiero mostrar que este sistema de ecuaciones tiene (o no tiene) una solución única con respecto a $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. Podrías ayudar ?.



Esto es lo que he probado y donde estoy apilado. Dejar $i = 1$. De la segunda ecuación, obtenemos $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ lo que da $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ De la primera ecuación se puede obtener $p_{1}$. A partir de otras ecuaciones, supongo que se puede obtener de forma análoga $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.

¿Es esto suficiente para demostrar que el sistema no tiene una solución única? ¿O hay alguna forma de excluir uno entre$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?.

Respuestas

3 AlexRavsky Aug 22 2020 at 01:01

Como notó, las segundas cuatro ecuaciones se reducen a $\alpha-\alpha^2=d_i$. Entonces la condición necesaria para que el sistema tenga una solución es$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. Las ecuaciones restantes se reducen a$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ Sigue $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. Esta es otra condición necesaria para que el sistema tenga una solución. Suponemos que ambos grupos de condiciones necesariamente se cumplen. Ahora son posibles los siguientes casos.

1)) $d=\tfrac 14$. Luego$\alpha=\tfrac 12$. Luego$p_i$ son indeterminados por el sistema, y ​​tiene una solución (no única) si $e_i=\alpha^2=\frac 14$ para cada $i$

2)) $0\le d<\frac 14$. Entonces hay dos opciones posibles$\alpha_1$ y $\alpha_2$ para $\alpha$ y

$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$

Tenemos $p_i\in [0,1]$ si $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ para cada $i$. Si esta condición falla para algunos$i$, entonces el sistema no tiene soluciones. De lo contrario, tiene dos soluciones, una para cada$\alpha_j$.