Resolver$ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $

Question

Intenté mucho con esta ecuación pero nada parece funcionar:$$ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $$Intenté elevar al cuadrado pero da una ecuación cuadrática que no puedo resolver.
¿Alguna idea por favor?

Answer 1

$$ x = 54 + \sqrt{54 - \sqrt{x}} \\ k = 54 - \sqrt{x} \\ t = x-54 \\ k+t = x - \sqrt{x}$$

Y entonces:

$$ t = \sqrt{k} \\ t^2 = k \\ t^2 + t = t(t+1) = k+t = x - \sqrt{x} = \sqrt{x}( \sqrt{x} - 1)$$

$$t = \sqrt{x} -1 ~~ \text{and} ~~ t+1 = \sqrt{x} $$

$$ t = x-54 \\ (t+1)^2 = x \\ (x-53)^2 = x$$

Que es una ecuación cuadrática simple, obtendrás$2$resultados, uno de ellos no sería correcto porque haría que la LHS de su ecuación fuera negativa (después de "mover" el 54 a la izquierda), y sabemos que las raíces cuadradas sobre los reales dan una solución positiva.

Answer 2

podemos poner$y=54-\sqrt{x}$obtener un sistema de ecuaciones\begin{align} x-54&=\sqrt{y}\\ y-54&=-\sqrt{x}. \end{align}Elevando al cuadrado y restando entre sí (utilizando el hecho de que$x,y \geq 0$) esto se simplifica a$$ (y-x)(108-x-y)=y-x. $$Ya que$y \neq x$(de lo contrario, el sistema anterior produciría$-\sqrt{x}=\sqrt{y}$y entonces$x=y=0$, imposible), tenemos$108-x-y=1$. Reemplazando eso en una de las ecuaciones obtenemos$x-54=\sqrt{107-x}$, por lo que necesitamos resolver la ecuación cuadrática$$ (x-54)^2=107-x. $$Ese debería ser un ejercicio sencillo que produzca dos raíces reales, solo una de las cuales satisfará$x -54 \geq 0$.

Answer 3

Con$x=t^2$,$$(t^2-54)^2=54-t$$es una ecuación de cuarto grado.

Aunque un CAS nos dice que las soluciones tienen una expresión relativamente simple, no veo mejor manera de llegar a ella que el método de resolución estándar de la cuártica.