Resolviendo$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$sin calculadora gráfica para la forma exacta

Question

¿Hay alguna forma de resolver esta desigualdad sin usar una calculadora gráfica para obtener la forma exacta?

$$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$$

He intentado completar el cuadrado pero termino con$$\frac{3 - \sqrt{41}}{2} < x^2 < \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$que no coincide con la respuesta en Desmos.

Answer 1

$$9-x^2>x^4+2x^2+1$$ $$x^4+3x^2-8<0$$ $$\left(x^2+\frac32 \right)^2 < 8+\frac94$$

$$\left(x^2+\frac32 \right)^2< \frac{41}4$$

$$0\le x^2<\color{red}-\frac32 + \frac{\sqrt{41}}2$$

Ahora, su respuesta debe coincidir.

Answer 2

Insinuación:

• Si$A>B>0$después$A^2>B^2$. aplicar esto a$\sqrt{9-x^2}>x^2+1$.
• Como$x^2+1$siempre es positivo entonces$9-x^2>0$.

Ambos deben estar satisfechos. Así que tú necesitas$\cap$para intersectar los conjuntos solución de ambos casos.

La pista se amplía.

\begin{reunir} 9-x^2>x^4+2x^2+1\\ x^4+3x^2-8<0\\ (x^2-\frac{-3+\sqrt{41 }}{2})(x^2-\frac{-3-\sqrt{41}}{2})<0 \end{reunir}

que debe cruzarse con

\begin{reunir} 9-x^2>0\\ x^2<9 \end{reunir}

La solucion es$x^2< \frac{-3+\sqrt{41}}{2}$o$$-\sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}<x< \sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}$$