Retracción de álgebra simétrica

Question

Si consideramos un espacio vectorial sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica $0$, tenemos la siguiente secuencia exacta:

$$0\rightarrow \wedge^{2}V\rightarrow \text{T}^{2}V\rightarrow\text{S}^{2}(V)\rightarrow 0\text{,}$$ dónde $\wedge^{2}, \text{T}^{2}$ y $\text{S}^{2}$denota el componente de segundo grado del álgebra exterior (resp. tensor y álgebra simétrica). De hecho, podemos definir explícitamente la retracción$$\text{S}^{2}(V)\rightarrow\text{T}^{2}(V)$$ que es solo: $$v_{1}\cdot v_{2}\mapsto \frac{1}{2!}\sum_{\sigma\in S_{2}}v_{\sigma(1)}\otimes v_{\sigma_{2}}\text{.}$$ Mi pregunta es la siguiente: ¿podemos describir explícitamente el núcleo del mapa $$\text{T}^{n}(V)\rightarrow\text{S}^{n}(V)$$¿como antes? Es fácil definir la retracción para el caso general, solo podemos reemplazar$2$ por $n$, pero ¿cómo describimos el núcleo? Que pasa en el caso$n=3$ y $n=4$ (¿Cuáles deberían ser los más fáciles)?

Gracias por tu tiempo.

Answer 1

(Abajo necesito $k$ tener una característica cero, que tal vez pueda debilitarse a una característica mayor que $n$, pero no necesito que esté cerrado algebraicamente).

Depende de lo que quieras decir con "explícitamente". Abstractamente , la dualidad Schur-Weyl implica que el poder tensorial$V^{\otimes n}$ se rompe, bajo las acciones de desplazamiento de $GL(V)$ y $S_n$, en una suma directa de functores de Schur

$$V^{\otimes n} \cong \bigoplus_{\lambda \vdash n} S^{\lambda}(V) \boxtimes M^{\lambda}$$

correspondiente a las particiones de $n$. Ésta es precisamente la descomposición en representaciones irreductibles de$GL(V)$, y cuando $n \ge 3$ estrictamente hay más de ellos que el poder simétrico y exterior.

Por ejemplo, cuando $n = 3$ Hay tres functores de Schur que se pueden considerar correspondientes a las tres representaciones irreductibles de $S_3$:

• El cubo simétrico $S^3(V)$, correspondiente a la trivial representación de $S_3$,
• El cubo exterior $\wedge^3(V)$, correspondiente a la representación del signo de $S_3$y
• El functor de Schur $S^{(2, 1)}(V)$, que no tiene un nombre que yo sepa, correspondiente al no trivial $2$-representación irreducible dimensional de $S_3$.

Entonces, el núcleo del mapa de simetrización $V^{\otimes 3} \to S^3(V)$ es isomorfo, como $GL(V)$-representación, a $\wedge^3(V) \oplus 2 S^{(2, 1)}(V)$.

Lo que quiero decir con "corresponde" es lo siguiente. Si$M^{\lambda}$es el módulo de Specht (representación irreductible) de$S_n$ etiquetado por $\lambda$, luego $S^{\lambda}(V)$ está construido como $V^{\otimes n} \otimes_{S_n} M^{\lambda}$. El componente isotípico de$S^{\lambda}(V)$ en $V^{\otimes n}$ puede aislarse como la imagen del idempotente

$$\frac{\dim M^{\lambda}}{n!} \sum_{\pi \in S_n} \chi_{\lambda}(\pi^{-1}) \pi$$

(dónde $\chi_{\lambda}$ es el personaje del módulo Specht $M^{\lambda}$), que reproduce la conocida simetrización idempotente cuando se aplica a la representación trivial y la conocida antisimetrización idempotente cuando se aplica a la representación de signos, como se esperaba. Así que todo esto puede hacerse tan explícitamente como puede escribir la tabla de caracteres de$S_n$.