¿Se cumple la regla de la cadena para los derivados generales?
Para el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ tenemos derivadas parciales, que obedecen a la regla de la cadena, por ejemplo:
dejar $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, asumir una base estándar para $\mathbb{R}^n$ es $x^i$ y base estándar para $\mathbb{R}^m$ es $y^j$Entonces, para la composición tenemos:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
que es la regla de cadena estándar.
Ahora considere la derivada del caso general como un mapa lineal entre álgebra $v:A\to B$ con $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
En este caso, ¿la cadena regla para la composición $v(f\circ g)$¿todavía mantienen? ¿Parece que no?
(sabemos por diferencial $dF_p:T_pM\to T_p N$ la regla de la cadena todavía se mantiene)
Respuestas
En el caso de variedades suaves, lo que usted llama la regla de la cadena es una manifestación de la funcionalidad del funtor que toma una variedad con un punto marcado $(M,p)$ a su espacio tangente $T_pM$ y tomando un mapa suave de tales objetos $f:(M,p)\to (N,q)$ al diferencial asociado $df_p:T_pM\to T_qN$. La funcionalidad dice que dada una composición$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ hay una relación $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. En un lenguaje menos abstruso, esto simplemente dice que el diferencial de la composición es la composición de los diferenciales. Poniendo eso en términos concretos, dado$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ como arriba, sabemos que los diferenciales son respectivamente $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ y $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ donde las coordenadas en el primer espacio son $x^1,\ldots, x^n$ y las coordenadas en el segundo espacio son $y^1,\ldots, y^m$ y la primera matriz es $m\times n$, y el segundo es $1\times m$. El compuesto del diferencial es la multiplicación de estas matrices, que es como escribe$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ donde esto es un $1\times n$ matriz.
La pregunta que haces es diferente. Digamos que$A$ y $B$ son $k-$álgebras para algún campo $k$. Entonces un morfismo$v:A\to B$ cual es $k-$linear y Leibniz (es decir $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) es un tipo de operador diferencial. Sin embargo, aquí no está claro qué quiere que signifique la regla de la cadena. La regla de la cadena es lo que ocurre cuando aplicamos un operador diferencial a una combinación de funciones en nuestra configuración múltiple. En este caso,$f\circ g$ ni siquiera tiene sentido a priori.
Hago la siguiente propuesta: Dada una categoría de espacios geométricos $\mathscr{C}$y una "función" $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, asignando a cada espacio $X$ una estructura algebraica $F(X)$, Nosotros decimos eso $F$obedece una regla de la cadena si$F$ es funcional en el sentido de arriba: dado $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ tenemos $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Es cierto que esto es un poco vago, pero ilustra lo que "usamos" para definir la regla de la cadena.