Secuencia constante de sumas parciales en una serie divergente
En la serie armónica, tenemos $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ para todos $n$, lo que implica divergencia. Sin embargo, las sumas parciales de$n$ a $2n$, evaluado en $n$, igual $\ln(2)$ para todos $n$. ¿No implica esto que la secuencia de sumas parciales ha convergido al valor$\ln(2)$, lo que a su vez, implica que la serie debe converger? Siento que no estoy entendiendo algo fundamental sobre el criterio de Cauchy y la convergencia, etc. ¿No es esto una secuencia de sumas parciales debido a las cosas divertidas que estamos haciendo con el intervalo? Gracias por tu ayuda.
Respuestas
Primero, una cosa menor: las sumas parciales de $n$ a $2n$ Acercarse $\ln{2}$, pero nunca lo igualará. (¿Por qué?)
En segundo lugar, algo más importante: de hecho, lo que ha demostrado es que la secuencia de sumas parciales $\{ H_n\}$no es Cauchy y, por tanto, no es convergente. De hecho, si fuera Cauchy, entonces por definición$|H_{2n} - H_n| \to 0$. Esto se debe a que para cualquier$\epsilon > 0$, tendría que existir $N(\epsilon)$ para cual $|H_m - H_n| < \epsilon$ cuando $m, n > N(\epsilon)$; entonces elegimos$m = 2n$ aquí.