Si $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, ¿cómo es max { $f$, $g$} definido?

Question

Actualmente estoy leyendo un libro de texto sobre espacios métricos y encontré la siguiente terminología para dos funciones que parece que no puedo encontrar en ninguna parte cómo se define.

Dejar $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, ¿cómo es max {$f$,$g$} definido? de manera similar, ¿cómo es min {$f,g$} definido?

Estoy pensando en max {$f$,$g$}: esto significa simplemente tomar los valores máximos de $f$ y $g$y max {$f$,$g$} consta de todos esos valores. Del mismo modo, para tomar los valores mínimos de$f$ y $g$y min {$f,g$} consta de todos esos valores.

La motivación para esto es que me encontré con un problema en el que preguntaba: dadas dos métricas $d_1$ y $d_2$ (para $(X_1,d_1)$ y $(X_2,d_2)$respectivamente) es max {$d_1$,$d_2$} una métrica en $X_1 \times X_2$? Sin embargo, para comenzar a responder esta pregunta, necesito definir la terminología con la que no estoy familiarizado.

Answer 1

Por cada fijo $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ es el número más grande entre los dos números reales $f(x)$ y $g(x)$. Definiendo$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ es posible probar que $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.

Answer 2

Esto sigue el patrón habitual de la aritmética de funciones .

• $f+g$ es la función $x \mapsto f(x) + g(x)$.
• $f-g$ es la función $x \mapsto f(x) - g(x)$.
• $f\cdot g$ es la función $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
• $f/g$ es la función $x \mapsto f(x) / g(x)$.
• $\max\{f,g\}$ es la función $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.

Es decir, las expresiones de función unen todas las ranuras de variables de dominio a una sola ranura de dominio.

Answer 3

Se define como cabría esperar. Tenga en cuenta que tiene funciones$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Cuando evalúas ambas funciones en $x$obtienes un número real. Entonces puedes tomar$\max\{f(x),g(x)\}$, y no se necesita una definición especial, porque todo sucede en los reales, y estoy seguro de que has definido el máximo.

También tenga en cuenta que $\max(x,y)=\min(-x,-y)$, por lo que no necesita una segunda definición.

Y el máximo de dos reales se define como:

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

Answer 4

Como muestran muchas otras respuestas, $\max\{f,g\}$se define puntualmente .

Para el problema que lo motiva, encuentre una respuesta en esta pregunta: Máximo de dos métricas es una métrica

Answer 5

Dadas dos funciones $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, podemos definir el máximo $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ por $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$y su mínimo $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ por $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$