Si $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ como $f(n)=(n,n+1)$ ¿Es sobreyectiva y / o inyectiva?

Aug 19 2020

Si $f: \mathbb N \rightarrow \mathbb N \times \mathbb N $ como $f(n)=(n,n+1)$ ¿Es sobreyectiva y / o inyectiva?

Se que es sobreyectiva $\Leftrightarrow \forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N \exists c \in \mathbb N:f(c)=f(a,b)$

Obviamente es inyectivo porque si $(n,n+1)=(m,m+1) \rightarrow n=m$

Puedo ver que no es sobreyectivo pero no sé cómo probarlo, ¿puedo conseguir ayuda?

Respuestas

9 ilovebulbasaur Aug 19 2020 at 13:04

Considerar $(1,1)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Supongamos por contradicción que existe$n\in\mathbb{N}$ con $f(n)=(n,n+1)=(1,1)$. Luego, leyendo la primera entrada, obtenemos$n=1$. Al leer la segunda entrada, obtenemos$n+1=1\implies n=0$. Claramente no podemos tener$n=1$ y $n=0$al mismo tiempo. Contradicción. Por lo tanto$f$ no es sobreyectiva.