si$\int\limits_a^bf(x)dx=0$para todos los números racionales$a<b$, después$f(x)=0$ae [duplicado]
Dejar$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$Sea una función integrable.
Demuestra que si$\int\limits_a^bf(x)dx=0$para todos los números racionales$a<b$, después$f(x)=0$todos la mayoría en todas partes.
Pista: primero prueba$\int\limits_Af=0$por$A$un conjunto abierto, entonces para$A$mensurable.
Mi intento: dejar$A$un conjunto abierto en$\mathbb{R}$. Entonces podemos escribir$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$dónde$\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$es una colección disjunta de intervalos abiertos con extremos racionales (¿es esto posible?)
Asi que$\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$
Entonces, ¿cómo debo usar el resultado para medir$A$y además, después de hacerlo, no$\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$implica$f=0$¿eh?
Aprecio tu ayuda
Respuestas
Creo que es sencillo. Dejar$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$
$\mu (D)$es medida de conjunto$D$. Sabemos$\mu (A)=0$y$\mu (B)=b-a$. Integral de Lebesgue:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$Porque$\int_{A} f(x)d\mu=0$( porque$f(x)=0$casi en todas partes) y$\int_{B} f(x)d\mu=0$
Puedes hacer un truco clásico de definir la colección.
$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$
y luego mostrar que$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Ya que$f$es medible, el resultado final deseado seguirá porque de lo contrario$\pm \int_{B_\pm} fdx>0$dónde$B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.
Más tarde puede verificar que$\mathcal{E}$es un$\sigma$-álgebra, así que si demuestras eso$A\in \mathcal{E}$para cualquier conjunto abierto$A$, entonces se seguirá que$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.
Finalmente, dado que los intervalos con extremos racionales son una base contable de la topología en$\mathbb{R}$, para cualquier abierto$A\subseteq \mathbb{R}$existe una colección de intervalos con extremos racionales,$\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$tal que$A=\cup (a_k,b_k)$. Usando el DCT, obtienes eso$\int_A f =0$.