Si las condiciones para un$C^1$-difeomorfismo para tener$L^1$o$L^\infty$jacobiano

Aug 19 2020

Dejar$\Delta,D$ser dos subconjuntos abiertos de$\mathbb{R}^d$, y deja$\varphi:\Delta \rightarrow D$ser un$C^1$-difeomorfismo con determinante jacobiano$J_{\varphi}.$

  1. Pruebalo$\lambda_d(D)<+\infty$si y solo si$J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

  2. Pruebalo$J_\varphi$está limitado en$\Delta$si y solo si$\exists c>0$tal que para todo abierto$\Omega \subset\Delta$,$\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

Para la parte 1, el resultado se sigue de$\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

Para la parte 2, si$J_\varphi$está ligado,$\exists c>0$tal que para todo abierto$\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

¿Cómo podemos probar lo contrario?

Respuestas

CalvinKhor Aug 19 2020 at 00:51

Recuerda que para cualquier función continua$f$definido en una vecindad de un punto$x\in\mathbb R^d$,$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

Supongamos que la función continua$|J_\varphi|$fue ilimitado. Entonces para cada$n\in\mathbb Z_{>0}$, existe$x_n\in \Delta$tal que$|J_\varphi(x_n)|>2n$. Por lo tanto, para cantidades suficientemente pequeñas$r_n>0$,$$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$que es decir$$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$entonces no hay tal$c>0$puede existir