Si $M$ es un modelo de clase estándar de ZFC isomorfo para $V$, entonces es $M = V$?
Considere la siguiente declaración: (T) "Si $M$ es un modelo de clase estándar de ZFC isomorfo para $V$, luego $M = V$. "La declaración (T) es equivalente a:" Si el colapso transitivo de un modelo de clase estándar $M$ de ZFC es igual a $V$, luego $M = V$. "Esto se debe a que el colapso transitivo de una clase $M$ es la clase transitiva única que es isomórfica en cuanto a elementos para $M$.
Aquí, por modelo de clase estándar de ZFC me refiero a un modelo de clase de ZFC cuya relación de elemento es la relación de elemento real.
Suponga que ZFC es consistente. ¿ZFC prueba (T)? ¿ZFC refuta (T)? Si no a ambos, ¿ZFC con algún axioma cardinal grande adicional refuta (T)?
Respuestas
No. Definir $F:V\to V$ por $\in$-recursión como $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. Claramente$F(x)$ no está vacío para todos $x$. También,$F$ es inyectivo: si $F(x)=F(x')$, luego por inducción en $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ podemos asumir $F$ es inyectable en $x\cup x'$. Ya que$F(x)=F(x')$ Debemos tener $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, pero desde $F$ es inyectable en $x\cup x'$ esto implica $x$ y $x'$ tienen los mismos elementos y por lo tanto $x=x'$. También claramente$y\in x$ implica $F(y)\in F(x)$, y lo contrario se sigue de la inyectividad de $F$.
Tomado en conjunto, esto muestra que $F$ es un isomorfismo de $(V,\in)$ a $(M,\in)$ dónde $M$ es la imagen de $F$. Pero$M\neq V$, ya que $\emptyset\not\in M$.