Si$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Luego calcula$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Aquí$i=\sqrt{-1}$

Aug 16 2020

PREGUNTA: Si$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$,$\text{ }$luego calcula$$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$Aquí$i=\sqrt{-1}$.


MI RESPUESTA: Lo he hecho usando la fórmula Cuadrática y el Teorema de De Moivre. Permítanme escribir mi trabajo antes de proponer mi duda... Así es como lo hice...

Resolviendo la ecuación obtenemos$$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$Tomar$x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$

Ahora sabemos que$2187=(273\times8)+3$

$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$

$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$

Ahora mi primera pregunta es que, la relación cuadrática nos dio dos valores diferentes para$x$. Uno con el que he trabajado para llegar a la respuesta de$\sqrt {2}i$y el otro,$\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$que había dejado atrás. Ahora, trabajando con eso, encuentro que el ángulo resulta ser$\frac{\pi}{10}$y las cosas se vuelven mucho más complicadas después de eso. La respuesta oficial a esta es$\sqrt{2}i$(que coincide con lo que he averiguado).

Mi duda es porque no consideramos el otro valor de$x$?

¿Y hay algún método alternativo (preferiblemente más simple) para resolver este?

Muchas gracias por su ayuda y apoyo.. :)

Respuestas

7 AnginaSeng Aug 16 2020 at 21:24

$2187=3^7$. Esta es una pista. Poderes de$3$son significativos. Ahora$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$y$$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$Asi que$$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$Repitiendo esto,$$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$etc. Eventualmente,$$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$

VIVID Aug 16 2020 at 21:27

De hecho, es fácil comprobar que ambos valores de$x$dar el mismo resultado. Para todo el problema, solo necesita la fórmula de De Moivre dos veces (dos líneas de papel sin explicación).

Para$x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, has demostrado que la respuesta es$i\sqrt 2$.

Ahora deja$x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Utilizando la fórmula de De Moivre y el hecho de que$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$usted obtiene$$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$¡Hecho!