Si una analítica$f$satisface cualquiera de estas dos condiciones, entonces es constante

Question

Estoy tratando de preguntas de asignación de un instituto en el que no estudio. Me sorprenden estos 2.

1. Si$f$es función diferenciable de una región$X$en$\mathbb{C}$dentro$\mathbb{R}$Pruebalo$f$es necesariamente una constante.

2. Si$f$y$\bar {f}$ambos son analíticos en una región$X$Demostrar que son constantes en la región.$X$.

Intentos:

1. La región siempre está abierta. Entonces, rango de$f$debe ser abierto (teorema de mapeo abierto) pero$\mathbb{R}$no está abierto en$\mathbb{C}$incluso si es un singleton como complemento de$\{x\}$no está cerrado Entonces, estoy confundido sobre cómo puedo probar la declaración.

2. Para 2 no tengo nada que mostrar ya que estoy realmente confundido sobre qué resultado usar debido a$\bar{f}$en cuestión.

Amablemente ayuda

Answer 1

Su prueba para 1) es correcta. Para 2), si ambos$f$y$\bar{f}$son holomorfos (diferenciables), entonces también lo son$\mathrm{Re}(f)$y$\mathrm{Im}(f)$, sin embargo, sus rangos se encuentran en$\Bbb{R}$. Por lo que probaste en 1), ambos deben ser constantes, por lo tanto$f$es constante