Si$\widehat{M}$es gratis$\widehat{R}$-módulo de rango$n$después$M$tiene un grupo generador de$n$elementos como un$R$-módulo.
Con referencia a mi última pregunta Si$\widehat{M}$es gratis$\widehat{R}$-módulo, entonces$M$es gratis$R$-módulo,$R$es un anillo Zariski. Quiero hacer la siguiente pregunta.
Dejar$R$ser un anillo Zariski con$I$-topología ádica,$I \subset J(R)$. Dejar$M$ser un finito generado$R$-módulo tal que el$I$-terminación ádica$\widehat{M}$es gratis$\widehat{R}$-módulo de rango$n$. Entonces, ¿cómo puedo demostrar que$M$tiene un grupo generador de$n$elementos como un$R$-módulo.
Necesito ayuda.
Respuestas
Considerar$n$generadores de$\widehat M$,$x_1,...,x_n$.
Dejar$y_1,...,y_n$denotan su imagen en$M/IM$. Después,$y_1,...,y_n$generar$M/IM$.
Por cierto,$\widehat M\to M/IM$es sobreyectiva ($M\to \widehat M\to M/IM$es sobreyectiva), por lo que si$z\in M/IM$, dejar$w$sea cualquier antecedente,$w= \sum_i \lambda_i x_i$implica que$z =\sum_i \mu_i y_i$, con$\mu_i$la imagen de$\lambda_i$por debajo$\widehat R\to R/I$.
Pero ahora desde$I\subset J(R)$, el lema de Nakayama te dice que cualquier antecedente de$y_1,...,y_n$generar$M$(aquí, utilice la suposición de que$M$se genera finitamente)