Singularidad de las soluciones para PDE de primer orden, lineal, homogénea y de valor límite
Considere una PDE homogénea, lineal y de primer orden
$$L u \equiv \left( \sum_{i = 1}^d f^i(x) \frac{\partial}{\partial x^i} + c(x) \right) u(x) = 0$$
en algún dominio compacto $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. Obviamente este sistema siempre ha$u = 0$como solución; mi pregunta es qué tipo de condiciones sobre los coeficientes$f^i(x)$ y $c(x)$ son suficientes para garantizar que la solución cero sea única sujeta a la condición de frontera $u|_{\partial \Omega} = 0$.
Sé que la buena posición de las PDE de primer orden generalmente se estudia a través del método de características, pero según tengo entendido, eso suele ser útil al pensar en la PDE como un problema de valor inicial en el que las condiciones de contorno se especifican en una superficie de valor inicial y evolucionó a partir de ahí. Porque aquí estoy tratando el sistema como un problema de Dirichlet, el problema no homogéneo$Lu = g$, $u|_{\partial \Omega} = h$puede que en general no esté bien posado; pero eso está bien porque solo me importa la unicidad de la solución cero al problema homogéneo.
Tengo un resultado parcial de Oleinik y Radkevic (https://www.springer.com/gp/book/9781468489675), que consideran PDE lineales de segundo orden con forma característica no negativa, de las cuales la ecuación que di arriba es un caso especial (ya que su forma característica es idénticamente cero). Entonces, por ejemplo, del teorema 1.6.2 de este libro, puedo concluir que la solución cero es única si$c^* < 0$ en $\Omega \cup \partial \Omega$, dónde $c^* \equiv c - \sum_{i = 1}^d \partial_i f^i$ es el término derivado de cero del adjunto $L^*$ de $L$. Pero porque el operador$L$ Me preocupo es realmente un operador de primer orden, mientras que la condición $c^* < 0$ proviene de considerar operadores de segundo orden, imagino que debe haber condiciones suficientes mucho más generales para la unicidad de la solución cero que solo $c^* < 0$.
Respuestas
El método de características parece la forma correcta de resolver esto. Por caminos que satisfacen${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$uno encuentra $u(\vec{x}(t))$ evoluciona de acuerdo a ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. Si el camino termina en$\partial\Omega$, luego $u(x) = 0$a lo largo de todo el camino. Esto nos lleva a nuestra primera condición necesaria para la existencia de una solución distinta de cero:
(1) $\exists$ camino $\vec{x}(t)$ satisfactorio ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ con origen y término (límites como $t \rightarrow \pm\infty$) en el interior de $\Omega$.
Para un continuo $u(\vec{x})$, El valor de $u(\vec{x}(t))$ no puede divergir cuando $t \rightarrow \pm\infty$. Excepto un conjunto de medida cero, todos los caminos$\vec{x}(t)$comenzar en un repulsor y terminar en un atractor (en lugar de, digamos, un punto de silla). Por lo tanto, dos condiciones más necesarias para la existencia de una solución distinta de cero son:
(2) $c < 0$ a $\vec{x}(-\infty)$
(3) $c > 0$ a $\vec{x}(+\infty)$
Excepto por un conjunto de medida cero, probablemente podamos asumir que estas desigualdades son estrictas, es decir $c < 0$ y $c > 0$, respectivamente (la convergencia es posible para $c = 0$pero no garantizado, dependiendo de los términos derivados). Con las desigualdades estrictas, las condiciones (1-3) también son suficientes para soluciones distintas de cero$u(\vec{x})$existir. Eso se puede ver de la siguiente manera:
Comenzando con un punto $\vec{x}_0$ a lo largo del camino $\vec{x}(t)$, defina un tamaño$\epsilon$ sección transversal (ortogonal a las líneas de corriente de ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$) y postula que $u(\vec{x})$ varía suavemente de $u(x_0) = 1$ a $u = 0$en los límites de la sección transversal. El valor de$u(\vec{x})$ a lo largo del "pasado" y el "futuro" de esta sección transversal se obtiene propagando a lo largo de las características utilizando ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. Todas estas características se originan en el mismo repulsor (donde$u = 0$) y terminan en el mismo atractor (también donde $u = 0$). Complete el resto de$\Omega$ con la solución nula $u = 0$. Por lo tanto, hemos construido una solución de valor continuo distinta de cero para el PDE.
Hay un montón de casos extremos singulares donde las condiciones necesarias y suficientes no coinciden, es decir, si $\lVert f \rVert = u = 0$ en el mismo punto (se puede arreglar reescalando $f$ y $u$), Si $\lVert f\rVert = 0$ sobre un subconjunto abierto de $\Omega$, Si $\lVert f\rVert = 0$ en el límite $\partial\Omega$, Si $c = 0$ a $\vec{x}(\pm\infty)$. En el espacio de posibles funciones$(\vec{f}, u)$, estos casos singulares solo ocurren en un conjunto de medida cero, por lo que no son muy interesantes. En casi todas partes, son condiciones (1-3) tanto necesario y suficiente.
Dicho de otra manera, podemos decir (casi en todas partes) que la solución cero es única si:
$\forall$ caminos $\vec{x}(t)$ satisfactorio ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ con origen y término en el interior de $\Omega$,
$c > 0$ a $\vec{x}(-\infty)$ o $c < 0$ a $\vec{x}(+\infty)$.
Volviendo a tu condición $c^* < 0$: Tenga en cuenta que $\partial_i f^i < 0$en los atractores (esto siempre es válido, independientemente de si se trata de un nodo, ciclo límite, toroide, atractor caótico, etc.). Por tanto, si$c^* < 0$ en $\Omega$, resulta que $c = c^* + \partial_i f^i < 0$en todos los atractores. Por lo tanto, la segunda condición anterior siempre se cumple cuando$c^* < 0$. La condición anterior es la condición suficiente (y necesaria) más general para la unicidad (con las advertencias mencionadas anteriormente).
Dado que cualquier sistema dinámico puede ser representado por${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ y los sistemas dinámicos pueden ser muy, muy complicados, la condición general puede ser difícil de trabajar, por lo que condiciones más específicas como $c^* < 0$ podría ser más útil.
Además, definir el valor de $c$es complicado cuando el atractor / repulsor no es un punto. Tomar el promedio por encima de los ciclos límite es sencillo, los atractores caóticos no lo son tanto (teoría ergódica).