Sobre enteros algebraicos.
Tengo una pregunta sobre enteros algebraicos. $z$ es un número complejo y $n$ es un número natural, tal que, $z^n=\pm 1$. Entonces,$z-1/z$ es un entero algebraico.
I. Si $r$ es un número racional, es $(z-1/z)^{r}$sigue siendo un entero algebraico?
O más general, si$a$es un alg. En t. entonces$a^r$también es alg. En t.?
II. Si$a-1/a$es un alg. int., es$a$un alg. En t.?
Gracias
Editar. He estado leyendo sobre algunas pruebas trascendentales más simples y encontré algunas declaraciones similares. Pero acabo de tener estas preguntas, por eso no puedo encontrar las respuestas tan fácilmente en línea.
Respuestas
Yo si si $r$es positivo. No necesariamente si$r$es negativo. Si$a_1,\ldots,a_{n-1}$ son enteros algebraicos, entonces cualquier raíz de $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0$también es un número entero algebraico. Escritura$r=p/q$ con $p$ y $q$ enteros (positivos), está claro que $(z-1/z)^p$ es un entero algebraico, y $(z-1/z)^r$ es una raíz de $x^q - (z-1/z)^p$, de ahí un entero algebraico en sí mismo. Si$r$ es negativo, entonces la respuesta puede ser negativa: p. ej., $z=i$, $z-(1/z) = i-(-i) = 2i$y tomando $r=-1$ rendimientos $(2i)^{-1} = -\frac{i}{2}$, que no es un entero algebraico.
II. Como señaló mr_e_man, si$a-(1/a)$ es un entero algebraico, entonces $a$ es una raíz de $x^2 - (a-1/a)x -1$ que es un polinomio mónico con coeficientes enteros algebraicos, por lo tanto $a$ es un entero algebraico.
En ambos casos, la clave es
Teorema. Si$f(x)$es un polinomio mónico con coeficientes enteros algebraicos , y$a$ es una raíz de $f$, entonces $a$ es un entero algebraico.
Entonces ese es el teorema que quieres probar.