Sobre la expresión de álgebras como productos tensoriales como un producto cartesiano de campos
Me estoy ocupando de esta pregunta en el curso Introducción a la teoría de Galois:
¿Cuáles de las siguientes álgebras son campos? Productos de campos? Describe estos campos.
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
- $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
- $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
- $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $
Aclarando la pregunta podría decir:
$.\otimes_{A}.$ es una notación utilizada para el producto tensorial de dos álgebras o módulos sobre el anillo A.
El producto tensorial se define con la propiedad universal en mi curso.
$\mathbb{F}_2$ y $\mathbb{F_4}$ denotar $\mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{Z}_4$ respectivamente.
Mi progreso:
Sé que cualquier álgebra finita tiene un número finito de ideales máximos.
Decir $m_1,...,m_k$ ser los ideales máximos de nuestra álgebra finita A. Entonces $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ para algunos $n_i\in\mathbb{N}$.
Por tanto, si $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $ , entonces A es un producto de campos.
También hay algunos teoremas útiles a los que me he referido, en mi documento de respuestas, que está vinculado a continuación en mi respuesta a este problema.
He escrito todas mis respuestas detalladas en el siguiente documento, pero no estoy muy seguro de ellas (especialmente sobre las partes 3 y 4).
Haga clic aquí para acceder al enlace del documento de Google.
Después de ver mis respuestas, me gustaría agregar lo siguiente:
En la parte 3, he mostrado en mis respuestas que:
$ \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2 (T)} \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ cong \ frac {\ mathbb { F} _2 (\ sqrt {T}) [U]} {(U- \ sqrt {T}) ^ 2} $ donde $ U $ es una variable. Entonces, este no es un campo debido a la presencia de elementos nilpotentes como $ U- \ sqrt {T} $ . Pero no puedo demostrar que si puede ser producto de campos o no?
También en la parte 4, he mostrado en mis respuestas que:
$ \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4 (T)} \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ cong \ frac {\ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) [U]} {U ^ 3-T} $
Pero ahora me he quedado atascado y no puedo decir más sobre el producto de los campos.
Cualquier ayuda que conduzca a una progresión será muy apreciada.
Respuestas
Para 3, como dices, tienes un elemento nilpotente en el producto tensorial. Esto no puede suceder en un producto de campos. Si tenemos$R=F_1\times\cdots\times F_n$, un producto de los campos, y $(a_1,\ldots,a_n)^2$ es cero en $R$ luego $a_i^2=0$ en cada $F_i$ así que eso $a_i=0$ (como $F_i$es un campo). En este ejemplo, el producto tensorial no es un producto de campos.
Para extensiones de campo $F_1/F$, $F_2/F$ luego producto tensor $F_1\otimes_F F_2$ solo puede dejar de ser un producto de campos cuando ambos $F_1/F$ y $F_2/F$ son extensiones inseparables, y ese es precisamente el caso aquí.
Pero en el caso 4, tiene extensiones separables. En efecto$F_1/F$ es una extensión de Kummer aquí como $F=\Bbb F_4(T)$ tiene tres raíces cúbicas de unidad: $1$, $\omega$ y $\omega^2$. Luego$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ vía $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ dónde $\sigma:F_1\to F_1$ está tomando el automorfismo $\sqrt[3]T$ a $\omega\sqrt[3]T$.