Solicitud de referencia: ecuaciones diofánticas

Question

Estoy buscando un libro de texto, o preferiblemente conferencias, sobre el tema de las ecuaciones diofánticas. Estoy familiarizado con los principios básicos de la aritmética modular, las cónicas y el principio de Hasse, y los principios básicos de las curvas elípticas, el teorema de Mordell, etc. (aunque no estoy hasta el punto en que pueda entender la demostración).

Lo que necesito es algo que me lleve más allá de lo básico. Algo que me enseñará la teoría avanzada, y también me enseñará sobre superficies diofánticas (no solo curvas).

Answer 1

Esta puede ser una buena opción para alguien que (como usted) ya esté familiarizado superficialmente con algunas de las definiciones y métodos de la geometría diofántica:

• Marc Hindry, Joseph H. Silverman - Geometría diofántica: Introducción , Textos de posgrado en matemáticas 201 , Springer (2000),https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1210-2.

Los siguientes dos son excelentes artículos expositivos (especialmente el primero), que me proporcionaron mucha inspiración en el pasado:

• Mazur, Barry. Aritmética sobre curvas. Toro. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) 14 (1986), núm. 2, 207-259.https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183553167

• Mazur, Barry. Sobre el paso de lo local a lo global en la teoría de números ( enlace )

Henri Darmon tiene un par de buenos artículos sobre el tema de los puntos racionales en las curvas:

• Puntos racionales en curvas ( enlace )

• Puntos racionales en curvas elípticas modulares ( enlace )

Anthony Varilly-Alvarado tiene una serie de muy buenas introducciones al tema de los puntos racionales en diferentes tipos de superficies:

• Conferencias sobre Aritmética de superficies del Pezzo ( enlace )

• Aritmética de superficies K3 ( enlace )

Alexei Skorobogatov impartió un curso en 2013 sobre el tema de puntos racionales en superficies y variedades de dimensiones superiores. Las notas logran un gran equilibrio entre accesibilidad y generalidad:

• Geometría aritmética: puntos racionales ( enlace )

Luego están estas notas de Yonatan Harpaz sobre puntos racionales en superficies elípticas:

• Puntos racionales en fibraciones elípticas - Notas del curso ( enlace )

Finalmente (por ahora), Brendan Hassett tiene un buen artículo sobre el tema de la densidad potencial de puntos racionales en las variedades, que también es muy interesante:

• Densidad potencial de puntos racionales en variedades algebraicas ( enlace )

Answer 2

P.ej

• Teoría de números: Volumen I: Herramientas y ecuaciones diofánticas , Textos de posgrado en matemáticas 239 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49923-9; y
• Teoría de números: Volumen II: Herramientas analíticas y modernas , Textos de posgrado en matemáticas 240 ,https://doi.org/10.1007/978-0-387-49894-2

por Henri Cohen.

Answer 3

Es difícil llegar lejos en la teoría moderna sin alguna geometría algebraica.

Este es el enfoque adoptado en el libro:

• Bjorn Poonen, Puntos racionales sobre variedades , Estudios de posgrado en matemáticas 186 (2017), página del editor , Autor pdf .

Answer 4

Si está interesado en las aplicaciones del método de Baker, el teorema del subespacio de Schmidt, etc., puede que le gusten los siguientes libros recientes de Evertse y Győry:

• Ecuaciones discriminantes en la teoría de números diofánticos , New Mathematical Monographs, 32, Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
• Ecuaciones unitarias en teoría numérica diofántica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 146, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.

Answer 5

A los libros mencionados anteriormente agregaría uno más:

• Variedades racionales y casi racionales (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) por J. Kollár, KE Smith y A. Corti.

Los autores presentan un enfoque más o menos elemental de las cuestiones de racionalidad utilizando una combinación de métodos clásicos y modernos.