Solución extraña de sustituir en ecuaciones

Question

Encontré este ejemplo de cómo podrías terminar con una solución extraña, pero me preguntaba cómo surgió. Tenemos la ecuación:$$x^2+x+1=0 $$ Dado que x = 0 no satisface la ecuación, puede dividir por x en ambos lados, lo que produce: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$que es equivalente a nuestra primera ecuación. De nuestra primera ecuación podemos concluir que:$$-x^2=x+1$$ Ahora sustituimos eso en la segunda ecuación para obtener:$$x^2=\frac{1}{x}$$ lo que resulta en $$x^3=1$$que es equivalente a nuestra ecuación anterior ya que x no puede ser 0. Sin embargo, una solución de nuestra última ecuación es x = 1, que no es una solución de nuestra ecuación original. Tengo una vaga idea de que puede tener que ver con el hecho de que obtienes una ecuación cúbica y comienzas con una cuadrática, y que los pasos implican lo siguiente y no al revés, pero ¿puedes proporcionar una respuesta muy detallada de por qué surge? ¿Puede proporcionar más ejemplos?

Answer 1

Si llamamos $A(x)=x^2+x+1$ y $B(x)=x+1+\frac1x$, podemos esquematizar sus pasajes como tales: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$

Mientras que para preservar la equivalencia debería haber mantenido $A(x)=0$ en $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$

Answer 2

Esta sustitución ($x+1=-x^2$) expande un conjunto de raíces de la ecuación

porque $-x^2$ también depende de $x$.

Puedes sustituir $x+1=y$, por ejemplo.

Más ejemplo, cuando una sustitución similar da problemas similares.

Necesitamos resolver $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Obtenemos: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ o $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Ahora, desde $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ que puede hacer algo malo, obtenemos: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ o $$x(440x^2+630x+189)=0$$ y tenemos como una de las opciones $x=0$.

Fácil de ver eso $0$ no es una raíz de la ecuación inicial y sucedió

porque usamos una sustitución incorrecta $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$

Ahora, debemos comprobar que todas las raíces de la ecuación $440x^2+630x+189=0$ son raíces de la ecuación inicial, lo cual no es tan fácil.

Si queremos evitar estos problemas, debemos usar la siguiente identidad. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

Answer 3

Todas las transformaciones de una ecuación deben ser reversibles. Con$x=0$,

$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ está bien.

Pero combinando dos ecuaciones en una $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ no es.