solución general para integrales finitas de la forma $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$?
Recientemente estuve trabajando con esferas de dimensiones superiores y encontré el valor de esta integral: $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$
Aunque de alguna manera estaba trabajando al revés. Hice esto integral a partir de una relación que ya logré establecer. Me preguntaba si es posible encontrar el valor de esta integral usando algún método de integración, ya que si solo le dieran esta integral, podría encontrar su valor. Probé algunas calculadoras integrales en línea, que no dieron ningún resultado. Intenté hacerlo yo mismo y tampoco encontré nada, sin embargo, la integración no es realmente mi área.
Respuestas
Me preguntaba si es posible encontrar el valor de esta integral.
Si está buscando una respuesta, la tengo, (de Mathematica)
Expresión condicional Solo significa que hay una condición adicional involucrada y que se ha mencionado.
El enfoque más simple sería usar la integración por partes , que también se usa para derivar el Producto Wallis para integrales similares.
Dejar $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$, $v'=1$ y $u=(a-x^2)^b$, luego $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$. $I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$.
$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$
La sustitución $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ da como resultado la integral $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$Esto es proporcional a una integral beta , cuyo valor es$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ Cuando $b \in \mathbb Z^+$, esto se puede expresar en factoriales como $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$
Si disfruta de las funciones hipergeométricas, suponiendo $a>0$ y $b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ Si $t=\sqrt a$, esto conduce al resultado ya dado en las respuestas.