¿Son estas dos métricas equivalentes?

Question

Dejar $d_1$ y $d_2$ ser métricas en el espacio $X$. Suponga que para cualquier secuencia$\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$ y punto $x_0 \in X$ tenemos eso $$ \lim_{n \to \infty}d_1(x_n,x_0)=0 \iff \lim_{n \to \infty}d_2(x_n,x_0)=0. $$ ¿Podemos concluir que las métricas $d_1$ y $d_2$son equivalentes, es decir, que inducen la misma topología (métrica)? Me sentiría tentado a decir "sí" trivialmente, ya que los espacios$(X,d_1)$ y $(X,d_2)$son homeomorfos, un isomorfismo dado por la función identidad. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Answer 1

Las métricas $d_1,d_2$ en $X$ son equivalentes si $\textrm{id}_X: (X,d_1) \to (X,d_2)$ es un homeomorfismo.

Y el criterio de continuidad secuencial para $\textrm{id}_X$se aplica por la propiedad dada, en ambas direcciones. Entonces la idea que tienes es buena; simplemente dígalo con más precisión.

Otra observación: en cualquier topología métrica $O$ está abierto si

$$\forall x \in O: \text{ for all sequences } (x_n)_n \text{ in } X: (x_n \to x) \implies (\exists N \in \Bbb N: \forall n \ge N: x_n \in O)$$

y así como $d_1$ y $d_2$tienen las mismas secuencias convergentes, también tienen los mismos conjuntos abiertos, por lo que son equivalentes. También se puede hacer una variación de esto para conjuntos cerrados.

Answer 2

Tu no te estas perdiendo nada. Los conjuntos cerrados son iguales para las dos métricas, ya que un conjunto está cerrado si el límite de cualquier secuencia de él le pertenece. Por tanto, las dos métricas tienen los mismos conjuntos cerrados (y, por tanto, los mismos conjuntos abiertos).