Son $K(\pi_1,1)$ equivalente tangencialmente homotopía?
¿Se sabe si dos colectores compactos y suaves $X \simeq K(\pi_1,1) \simeq Y$ son tangencialmente homotopía equivalentes, es decir, el retroceso del haz tangente de $Y$ a lo largo de una suave equivalencia de homotopía $X \rightarrow Y$ es isomorfo al haz tangente de $X$? Sospecho que esto puede ser difícil, no parece más fuerte o más débil que la conjetura de Borel, porque incluso si la conjetura de Borel fuera cierta, podríamos tener múltiples estructuras suaves que no son tangencialmente homotopía equivalentes.
Respuestas
Creo que la respuesta es no : existe un par de variedades suaves cerradas asféricas que son equivalentes de homotopía pero no equivalentes de homotopía tangencial.
Reclamo: Let $X$ ser un colector de 9 orientado cerrado liso tal que $p_2(TX) = 0 \in H^8(X;\mathbb{Z}) = H_1(X;\mathbb{Z})$. Para cualquier$v \in H_1(X;\mathbb{Z})$ con $7 v = 0$, existe una variedad suave $Y$ y un homeomorfismo PL $f: X \to Y$, tal que $f^*(p_2(TY)) = v$.
Si $v \neq 0$, entonces no puede haber equivalencia de homotopía tangencial $X \to Y$, ya que tendría que tomar $p_2(TY) \neq 0$ a $p_2(TX) = 0$. Para obtener un ejemplo concreto, podemos tomar$X$ ser el producto de $(S^1)^6$ y un colector 3 asférico cerrado con torsión 7 no trivial en $H_1$. Aún más concretamente, la variedad 3 puede tomarse como el toro de mapeo del difeomorfismo de$S^1 \times S^1$ correspondiente a la matriz $\begin{bmatrix}1 & 7\\0 & 1\end{bmatrix}.$
Prueba de reclamación: la torsión 7 en $H^8(X;\mathbb{Z})$ concuerda con la torsión 7 en $H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$, y suavizando la teoría basta con ver que $(0,v)$ está en la imagen del homomorfismo $$[X,PL/O] \to [X,BO] \xrightarrow{(p_1,p_2)} H^4(X;\mathbb{Z}_{(7)}) \times H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)}).$$ Pero el segundo mapa se basa en un isomorfismo de $[X,BO] \otimes \mathbb{Z}_{(7)}$, y en el dominio podemos, por tanto, factorizar $[X,PL/O] \otimes \mathbb{Z}_{(7)}$. Pero según el cálculo de Kervaire-Milnor de esferas exóticas hay un mapa$PL/O \to K(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z},7)$ inducir un isomorfismo en grupos de homotopía en una amplia gama (mucho más allá $9 = \dim(X)$) después de tensar con $\mathbb{Z}_{(7)}$. Además, el mapa de conexión$$H^7(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \xleftarrow{\cong} [X,PL/O] \otimes \mathbb{Z}_{(7)} \to [X,BO] \otimes \mathbb{Z}_{(7)} \xrightarrow{p_2} H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$$ puede identificarse con el homomorfismo de Bockstein $\beta: H^7(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \to H^8(X;\mathbb{Z}_{(7)})$, que a su vez puede identificarse con $\beta: H_2(X;\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}) \to H_1(X;\mathbb{Z}_{(7)})$. Pero la imagen de eso es precisamente el núcleo de la multiplicación por 7, es decir, los elementos de 7 torsión.$\Box$