¿Son todos los vectores propios de la matriz simétrica real ortogonales?
Como aprendí en álgebra lineal, una matriz simétrica real $A$ siempre tiene vectores propios ortogonales, por lo que $A$ es ortogonalmente diagonalizable Pero, ¿son todos los vectores propios de la matriz simétrica real ortogonales?
De hecho, $A$ es diagonalizable para que podamos encontrar invertible $P$ y $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Pero no puedo probar $P$ es ortogonal Solo puedo encontrar que $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Entonces $P^{T}PS=SP^{T}P.$Esto no puede mostrar que $P^{T}P=I_{n}.$
Entonces esto $P$¿ortogonal? Si no es así, ¿cuál es su relación con los vectores propios ortogonales?
Por cierto me surgió este problema cuando estaba leyendo una nota de conferencia.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
Creo que su forma de probar que cualquier matriz simétrica tiene vectores propios ortogonales es incorrecta.
Se agradecerá cualquier ayuda.
Respuestas
El teorema en ese enlace dice $A$"tiene vectores propios ortogonales" debe expresarse con mucha más precisión. (No existe un vector ortogonal, por lo que decir que los vectores propios son ortogonales no tiene mucho sentido. Un conjunto de vectores es ortogonal o no, y el conjunto de todos los vectores propios no es ortogonal).
Obviamente, es falso decir que dos vectores propios son ortogonales, porque si $x$ es un vector propio entonces también lo es $2x$. Lo que es cierto es que los autovectores correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales. Y esto es trivial: supongamos$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. Luego$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$entonces $x\cdot y=0$.
¿Está mal ese pdf? Existen serios problemas con el enunciado del teorema. Pero asumiendo que lo que realmente quiere decir es lo que digo arriba, la prueba probablemente sea correcta, ya que es muy simple.
De hecho, no se puede probar que una matriz que diagonaliza $A$ es ortogonal, porque es falso.
Por ejemplo, tome $A=I$(la matriz de identidad). Cualquier matriz invertible$P$ diagonaliza $I$, pero por supuesto $P$ no necesita ser ortogonal.
Si $A$ tiene $n$ valores propios distintos (donde $A$ es $n\times n$), entonces el enunciado es verdadero, porque los autovectores correspondientes a diferentes autovalores son ortogonales (ver la respuesta de David C. Ullrich ).
De lo contrario, debe tomar una base de autovectores; luego, para cada valor propio$\lambda$, se toman los vectores propios en la base correspondiente a $\lambda$y ortogonalizarlo. Entonces obtienes una base ortogonal de autovectores.
Y sí, la prueba en las notas de la clase es incorrecta: usar $A=I$, el argumento probaría que toda matriz invertible es ortogonal, lo que obviamente es falso.