Submódulo libre máximo sobre un PID

Question

Sea M un módulo fg sobre un pid y T (M) su submódulo de torsión. Entonces M es la suma directa de T (M) y de un submódulo libre F , único hasta el isomorfismo, y además que es un submódulo libre máximo. Por el contrario, sea F un submódulo libre máximo de M (que es una condición más fuerte que tener el rango máximo). ¿Es cierto que F es un sumando directo, de modo que M es la suma directa de T (M) y F ?

Answer 1

La afirmación es falsa en general, como ilustraremos a continuación con un contraejemplo. Antes de continuar, se necesitan dos observaciones clave:

1. como mencioné de pasada en un comentario a la pregunta original, existe identidad entre la colección de submódulos de $M$ que se cruzan $\mathrm{T}(M)$trivialmente y la colección de submódulos gratuitos. Claramente, si$N \leqslant_A M$ es libre entonces $N \cap \mathrm{T}(M)=\mathrm{T}(N)=\{0_M\}$, ya que los módulos libres sobre dominios integrales (conmutativos) no tienen torsión. Por otro lado, por la misma razón cualquier submódulo$N$ que cruza trivialmente el submódulo de torsión debe ser sin torsión. $M$ siendo generado finitamente sobre el anillo noetheriano $A$ significa que $M$ en sí mismo es un módulo noetheriano, con la consecuencia de que, en particular, $N$se genera de forma finita. Dado que cualquier sin torsión generada finitamente$A$-módulo es gratis, $N$es en particular gratis. Por tanto, el problema puede reformularse analizando si algún submódulo$N$ máxima entre las que se cruzan $\mathrm{T}(M)$ trivialmente es una suma directa o no.
2. asumiendo que el submódulo $L \leqslant_A M$es máximo libre y al mismo tiempo un sumando directo, observemos que tiene un único suplementario, a saber, el submódulo de torsión. De hecho, considere un suplementario arbitrario$P$ de $L$. Sin prueba mencionamos un resultado muy general:

Lema. Dejar$A$ ser un anillo arbitrario, $S \leqslant_{\mathrm{Mon}} \mathrm{Z}(A)$un sistema multiplicativo central de$A$, $M$una izquierda $A$-módulo, $I$ un conjunto de índices arbitrario y $N \in \mathscr{S}_{\operatorname{\mathit{A}-\mathrm{Mod}}}(M)^I$una familia de submódulos cuya suma (interna) es directa. Dada cualquier familia$P \in \displaystyle\prod_{i \in I}\mathscr{S}_{\operatorname{\mathit{A}-\mathrm{Mod}}}(N_i)$ de submódulos, la siguiente relación se mantiene entre $S$-saturaciones: $$\mathrm{Sat}_S\left(\sum_{i \in I}P_i\right)=\sum_{i \in I}\left(\mathrm{Sat}_S(P_i) \cap N_i\right)$$

y aplicar este resultado al caso particular de submódulos $\{0_M\} \leqslant_A L$ respectivamente $\{0_M\} \leqslant_A P$ y sistema multiplicativo $A^{\times}\colon=A \setminus \{0_A\}$, llegando a la conclusión de que $\mathrm{T}(M)=\mathrm{Sat}_{A^{\times}}\left(\{0_M\}\right)=\left(\mathrm{Sat}_{A^{\times}}\left(\{0_M\}\right) \cap L\right)+\left(\mathrm{Sat}_{A^{\times}}\left(\{0_M\}\right) \cap P\right)=\mathrm{T}(L)+\mathrm{T}(P)=\mathrm{T}(P)$. Ya que$P$ se genera finitamente sobre un dominio ideal principal, su submódulo de torsión debe admitir un (libre) suplementario $Q$ en $P$, y se sigue que $L+Q$ y $\mathrm{T}(P)=\mathrm{T}(M)$ son suplementarios en $M$. Por maximalidad de$L$, se sigue además que $Q \subseteq L+Q=L$, de donde $Q \subseteq L \cap P=\{0_M\}$ y así finalmente $P=\mathrm{T}(M)$.

Ahora pasemos al contraejemplo prometido: considere $A=\mathbb{Z}$ y $M=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4$, donde estoy usando la abreviatura $\mathbb{Z}_r\colon=\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ para cualquier $r \in \mathbb{N}$. Está claro que$\mathrm{T}(M)=\{0\} \times \mathbb{Z}_4$. Argumentamos que el submódulo$N\colon=\mathbb{Z}\left(2, \overline{1}\right)$ es máxima libre pero no es un sumando directo (la notación de barra $\overline{m}$ denota la clase de residuo de $m \in \mathbb{Z}$ modulo $4$). La condición$N \cap \mathrm{T}(M)=\{0_M\}$se verifica fácilmente. Considere un submódulo$P \leqslant_{\mathbb{Z}} M$ tal que $N \leqslant_{\mathbb{Z}} P$ y $P \cap \mathrm{T}(M)=\{0_M\}$. Si$p \colon \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4 \to \mathbb{Z}$ denota la proyección canónica sobre el factor izquierdo, tenemos $2\mathbb{Z}=p[N] \leqslant_{\mathbb{Z}} p[P] \leqslant_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}$, que da las únicas opciones $p[P]=\mathbb{Z}$ o $p[P]=2\mathbb{Z}$. La primera opción conduce a una contradicción, ya que$1 \in p[P]$ significaba que existía $a \in \mathbb{Z}_4$ tal que $(1, a) \in P$ y por lo tanto $(2, 2a) \in P$. Ya que también tenemos$\left(2, \overline{1}\right) \in N \subseteq P$, resulta que $0_M \neq \left(0, 2a-\overline{1}\right) \in P \cap \mathrm{T}(M)$, que constituye la contradicción (el hecho de que $\overline{1} \notin 2\mathbb{Z}_4=\left\{\overline{0}, \overline{2}\right\}$es crucial aquí). Por tanto, necesariamente tenemos$p[P]=2\mathbb{Z}$, entonces para cualquier $x \in P$ allí existe $n \in \mathbb{Z}$ y $t \in \mathbb{Z}_4$ tal que $x=(2n, t)$. Como también tenemos$n\left(2, \overline{1}\right)=\left(2n, \overline{n}\right) \in P$, inferimos que $\left(0, t-\overline{n}\right) \in P \cap \mathrm{T}(M)=\{0_M\}$ De dónde $t=\overline{n}$ y por lo tanto $x \in N$. Esto prueba la igualdad$P=N$ y establece $N$ como máximo entre los submódulos que se cruzan $\mathrm{T}(M)$trivialmente. Sin embargo, la segunda observación nos dice que$N$ no puede ser una suma directa: de hecho, si este fuera el caso, necesariamente se seguiría que $N+\mathrm{T}(M)=M$, mientras que en nuestro caso $N+\mathrm{T}(M)=2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4<_{\mathbb{Z}} M$ es un submódulo adecuado.