$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b (x-[x]-\frac{1}{2})\phi '(x)\, dx+(a-[a]-\frac{1}{2})\phi (a)-(b-[b]-\frac{1}{2})\phi (b)$
De La teoría de la función zeta de Riemann de Titchmarsh , página 13:
Dejar $\phi (x)$ ser cualquier función con una derivada continua en el intervalo $[a,b]$. Entonces sí$[x]$ denota el mayor número entero que no exceda $x$, $$\sum_{a\lt n\le b}\phi (n)=\int_a^b \phi (x)\, dx+\int_a^b \left(x-[x]-\frac{1}{2}\right)\phi '(x)\, dx+\left(a-[a]-\frac{1}{2}\right)\phi (a)-\left(b-[b]-\frac{1}{2}\right)\phi (b).$$
No hay prueba de esto en el libro y no sé cuál es el 'nombre' de este teorema. Me gustaría entender este teorema, pero no sé por dónde empezar.
Respuestas
Dejar $\rho(t)=\frac12 -(t-[t])=\frac{1}{2} - \{t\}$, dónde $\{t\}$ es la parte fraccionaria de $t$.
Bosquejo de la prueba:
Te dejo los detalles. Aquí hay una forma de abordar esta identidad.
- Primero, note que $\rho$ es un $1$-función periódica, y que $\rho'(t)=-1$ para $x\in [k,k-1)$, $k\in\mathbb{Z}$. por$k\leq \alpha<b\leq k+1$, use la integración por partes dos veces (una vez con $u=f(t)$ y $dv=\rho'(t)\,dt$; y otro con$u=f'(t)$ y $dv=\sigma'(t)\,dt=\rho(t)\,dt$) Llegar
$$ \begin{align} -\int^\beta_\alpha f(t)\,dt &= \int^\beta_\alpha f(t)\rho'(t)\,dt\\ &=\rho(\beta-)f(\beta)-\rho(\alpha)f(\alpha)-\int^\beta_\alpha \rho(t)\,f'(t)\,dt \end{align} $$
Ahora puede agregar intervalos enteros $[k,k+1]\subset(a,b]$ y luego en intervalos potencialmente fraccionarios $(a,[a]+1]$, $[[b],b]$ para obtener el resultado deseado.
Editar: Se puede obtener una prueba más general y elegante mediante la integración por partes:
Lema: dejar$F$ y $G$ ser funciones continuas a la derecha de variación localmente finita en $I$, y deja $\mu_G$, $\mu_F$ son las medidas firmadas inducidas por $G$ y $F$respectivamente. Entonces, para cualquier intervalo compacto$[a,b]\subset I$, $$ \begin{align} \int_{(a,b]} F(t)\,\mu_G(dt)=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{(a,b]}G(t-)\,\mu_F(dt) \end{align} $$ dónde $G(t-)=\lim_{s\nearrow t}G(s)$.
Para el OP,
Considere la medida de contar $\mu(dt)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta_{n}$ y la medida de Lebesgue $\lambda$, ambos definidos en $(\mathbb{R}\mathscr{B}(\mathbb{R}))$. Dejar$\phi(dt)=(\lambda-\mu)(dt)$. Darse cuenta de$\Phi(t):=\phi((0,t])=t-[t]=\{t\}$.
$$ \begin{align} \sum_{a< n\leq b}f(n)-\int^b_af(t)\,dt &=-\int^b_af(t)\,(\mu(dt)-\lambda(dt))=-\int^b_af(t)\phi(dt) \end{align} $$
Aplicando el Lema anterior con $f$ en lugar de $F$ y $\Phi$ en lugar de $G$, tenemos eso $\mu_f(dt)=f'(t)\,dt$ y $\mu_{\Phi}(dt)=\phi(dt)$ y entonces,
$$ \begin{align} \int^b_af(t)\phi(dt) &= f(t)\Phi(t)|^b_a -\int^b_a\Phi(t-)\, f'(t)\,dt\\ &=f(b)\{b\}-f(a)\{a\}-\int^b_a\Phi(t)\,f'(t)\,dt\\ &= f(b)(b-[b])-f(a)(a-[a)] -\int^b_a(t-[t])\,f'(t)\,dt \end{align} $$
donde el cambio de $\Phi(t-)$ a $\Phi(t)$ se sigue del hecho de que $\Phi(t-)=\Phi(t)$ $\lambda$-como
La conclusión sigue sumando y restando $\frac12$ en la última integral.
Esto es por Abel-Summation: $$\sum_{a<n\leq b} f(n) = f(b) \sum_{a<n\leq b} 1 - \int_a^b \sum_{a<n\leq t} 1 \cdot f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \left( \lfloor b \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) - \int_a^b \left( \lfloor t \rfloor - \lfloor a \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(b) \lfloor b \rfloor - f(a) \lfloor a \rfloor + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - t \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \left( a - \lfloor a \rfloor - \frac{1}{2} \right) - f(b) \left( b - \lfloor b \rfloor - \frac{1}{2} \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b \left(t - \lfloor t \rfloor - \frac{1}{2} \right) f'(t) \, {\rm d}t \\ = f(a) \, B_1\left( a - \lfloor a \rfloor \right) - f(b) \, B_1\left( b - \lfloor b \rfloor \right) + \int_a^b f(t) \, {\rm d}t + \int_a^b B_1\left( t - \lfloor t \rfloor \right) f'(t) \, {\rm d}t \, ,$$ dónde $B_1(x)$es el primer polinomio de Bernoulli. Como se mencionó antes, el$1/2$-los términos son redundantes.
Integrando sucesivamente por partes usando $\int B_n(x) \, {\rm d}x = \frac{B_{n+1}(x)}{n+1}$, obtendrá la fórmula de Euler-Maclaurin si $a,b$ son enteros.