Teorema de Noether generalizado

Question

El texto que estoy leyendo afirma que si existe una simetría generada por $Q$, y bajo esta transformación un operador se transforma por$$f\rightarrow f +\delta f,$$ luego por el teorema de Noether $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

Sin embargo, este no es el teorema de Noether al que estoy acostumbrado, que veo que es similar a esta declaración, pero solo para traducciones de tiempo (con generador $H$). ¿Cómo se puede mostrar esta generalización del teorema de Noether?

Answer 1

Esto no parece ser precisamente el enunciado del teorema de Noether, sino la consecuencia de la ecuación de movimiento de Liouville: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ Dónde $\{,\}$-denota corchete de Poisson. Por lo general, verá Hamiltonian$H$ en vez de $Q$. Sin embargo, cualquier cargo puede tratarse de la misma manera que el Hamilton. Y para pequeños$\epsilon$y $f$ al no depender explícitamente del tiempo, da: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Como se afirma

Answer 2

Creo que quizás quieras echar un vistazo

Báez, JC (2020). Llegar al fondo del teorema de Noether. preimpresión de arXiv arXiv: 2006.14741.

donde creo que analiza una versión del teorema de Noether expresado de esta manera en la Sección 2.

En la página 15 específicamente, se analiza una versión del teorema de Noether que se expresa como el corchete de Poisson de dos cosas que son cero. No has definido$\epsilon$ anterior, pero creo que tal vez sea parte del cálculo de la notación que está utilizando (y hasta ahora todavía lo ignoro), y podría ser equivalente a lo que está escrito en el artículo de Báez.

De hecho, la diferencia entre los dos me recuerda algo que leí recientemente en esta solución con respecto al pensamiento de derivaciones (la última línea justo antes de la línea Prueba de [1]), lo que podría explicar la transición.