Terminología: representaciones fluidas de grupos lucrativos locales.

Question

Dejar $G$ Sea un grupo lucrativo local.

Una representación suave es una representación compleja ($V,\rho$) de $G$ tal que el estabilizador de cualquier $v \in V$ Esta abierto.

Se puede demostrar que (como $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ es un grupo de mentiras y tiene NSS), una representación (de dimensión finita) de $G$ es continuo si y solo si $\ker(\rho)$ Esta abierto.

Por lo tanto, en dimensiones finitas, las representaciones continuas son suaves.

Además, como $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ y la intersección de la derecha puede tomarse como finita para dimensiones finitas $V$, suave también implica continuo. Entonces estos son equivalentes para dimensiones finitas.

¿Qué pasa con las dimensiones infinitas? ¿Alguno implica al otro?

¿Cuál es el motivo de esta terminología? Solo pregunto porque estoy condicionado a pensar que estas implicaciones deben ser suaves implica continuas, ¡y no necesariamente al revés!

Answer 1

Supongo que aquí continuo significa el mapa $P:G \times V \rightarrow V$es continua, dada V la topología discreta. Entonces suave ciertamente implica continuo, literalmente por definición (verifique que la imagen inversa de un solo vector debajo de P esté abierta)

Pero no creo que la otra parte tenga razón, ya que debería depender del grupo.

Answer 2

Ya $G=\mathbb Z_p$ actuando $L^2(\mathbb Z_p)$ por traducción es continua, pero es fácil hacer funciones no constantes localmente en $L^2(\mathbb Z_p)$.

Además, es engañoso decir que los espacios repn suaves "no tienen topología" o "tienen la topología discreta". Más bien, tienen la topología colimit por expresarse como la unión ascendente de sus subespacios de dimensión finita. Sí, cada mapa lineal de un espacio así es continuo ... por lo que los comentarios incorrectos sobre la topología no conducen directamente al desastre. :)

Entonces, en el mejor de los casos, para cada compacto abierto $K$ en $G$, el subespacio $V^K$ de $K$-vectores fijos es de dimensión finita, y $V=\bigcup V^K$. Esto no es así para$V=L^2(\mathbb Z_p)$, pero es correcto para$V$ la $K$-vectores finitos. Ese tipo de cosas.