¿Tiene un grupo resoluble finito no trivial un subgrupo de índice de poder principal para cada divisor principal?

Aug 18 2020

Es bien sabido que cada subgrupo máximo de $G$ es de índice de poder principal si $G$ es un grupo resoluble finito no trivial.

Mi pregunta es: ¿Podemos probar que para cada primo$r\in\pi(G)$ existe un subgrupo máximo de $G$ de índice una potencia de $r$?

Traté de probarlo pero descubrí que cometí un error en mi prueba. Aquí está mi intento:

Definir $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Afirmamos que $\pi^*$es un conjunto vacío. Asumir que$\pi^*$no está vacío. Entonces los índices de los subgrupos máximos son exactamente potencias de primos en$\pi(G)\setminus\pi^*$. Toma un Sylow$q$-subgrupo $S_q$ para cada $q\in\pi(G)$. por$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, tome un subgrupo máximo arbitrario $M$ de $G$ tal que $|G:M|$ es un poder de $p$. Tenemos$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ Implica que $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ no está contenido en ningún subgrupo máximo de $G$. Pero$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ está debidamente contenido en $G$, lo cual es una contradicción.

Mi error :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ no es necesariamente un subgrupo de $G$, así que de hecho no puedo encontrar ninguna contradicción.

¿Podrías darme algunas ideas? Creo que tal vez debería demostrarlo de otra manera. Se agradece cualquier ayuda. ¡Gracias!

Respuestas

6 DavidA.Craven Aug 18 2020 at 16:49

Este es el teorema de Hall sobre grupos solubles. Afirma:

Un grupo finito es soluble si y solo si, para cada $p\mid |G|$, existe un $p'$-subgrupo $H$ cuyo índice es una potencia de $p$.

Un subgrupo $H$ tal que $|H|$ y $|G:H|$son coprime se denomina subgrupo Hall , y si$\pi$ es un conjunto de números primos tales que $p\in \pi$ divide $|G|$ si y solo si divide $|H|$, luego $H$ es un salón $\pi$-subgrupo.

Demostrar esto sin pistas es un desafío. Puede buscarlo en su libro de texto favorito o seguir el esquema a continuación para una sola dirección. Dejar$\pi$ ser un conjunto de números primos, y nuestro objetivo es demostrar la existencia de un Hall $\pi$-subgrupo en $G$.

  1. Dejar $K$ ser un subgrupo normal mínimo de $G$. Si$K$ es un $\pi'$-subgrupo entonces todo está hecho.
  2. Si $K$ es un $p$-subgrupo para $p\in \pi$, entonces puede usar el teorema de Schur-Zassenhaus para la preimagen de un Hall $\pi$-subgrupo en $G/K$.

Puede encontrar una prueba completa aquí , p.28.

4 JCAA Aug 18 2020 at 16:49

Sí, para cada conjunto de números primos, el grupo resoluble finito contiene un subgrupo de Hall cuyo orden es divisible solo por estos números primos y el índice no es divisible por ninguno de ellos. Ahora tome el conjunto de todos los números primos que dividen el orden del grupo menos uno. Un subgrupo de Hall correspondiente es lo que necesita.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup