Tomando derivados dentro de $\inf$

Question

Para convexo $f$, Debo demostrar que

$$g(x) \equiv \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}$$

es convexo. ¹

La respuesta dada se reformula $g$ como una transformación de perspectiva de $f$. Pero usé el siguiente enfoque en su lugar:

$$\begin{align} g(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha} \\ g'(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \frac{\alpha f'(\alpha x)}{\alpha} \\& = \inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x) \\ g''(x) & = \inf_{\alpha \gt 0} \alpha f''(\alpha x) = 0 \end{align}$$

Ya que $g'' \geq 0$ para todos $x$, $g$ es convexo.

¿Es este razonamiento sólido? ¿Puedo tomar derivados "dentro" de$\inf$ ¿Me gusta esto?

Tenga en cuenta que si bien hay otras preguntas en este sitio que piden mostrar la convexidad de esta función, mi pregunta es distinta, ya que se refiere a la validez de la nueva prueba dada anteriormente.

1. Stephen Boyd y Lieven Vandenberghe, Optimización convexa, ejercicio 3.31c.

Answer 1

Tu prueba no es correcta, porque $$g(x)= \inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}\not\Rightarrow g'(x)= \inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x).$$ Tomar $f(x)=x^2$ entonces $$g(x)=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{\alpha^2 x^2}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \alpha x^2=0\implies g'(x)=0.$$ Por otra parte, $$\inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x)=\inf_{\alpha \gt 0} 2(\alpha x)=\begin{cases} 0&\text{if $x \ geq 0$,}\\ -\infty&\text{if $x <0$.}\\ \end{cases}$$ Otro ejemplo: deja $f(x)=(x+1)^2$. Xa$x>0$, $$g(x)=\inf_{\alpha \gt 0} \frac{f(\alpha x)}{\alpha}=\inf_{\alpha \gt 0} \left(\alpha x^2 +2x+\frac{1}{\alpha}\right)=4x\implies g'(x)=4.$$ Por otra parte, $$\inf_{\alpha \gt 0} f'(\alpha x)=\inf_{\alpha \gt 0} 2(\alpha x+1)=2.$$