Topología débil del espacio normado

Question

Dejar $X,Y$ ser dos espacios normativos y $T:X\rightarrow Y$ ser un operador lineal acotado. $X,Y$con topología débil. Mi pregunta es que lo hace$T$ mapas conjunto débilmente compacto de $X$ para compactar débilmente $Y$ y la segunda pregunta es que $T$ sigue siendo un mapa continuo si equipamos $X,Y$ con topología débil.

Answer 1

Si $V$ es un elemento de subbase de $\tau_w$ en $Y$ conteniendo $0_Y$, entonces hay un funcional $\phi:Y\to \mathbb F$ y $\epsilon>0$ tal que $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Luego,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Ahora$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ es un (norma-) funcional lineal continuo por lo que $T^{-1}(V)$ está débilmente abierto en $X$ y contiene $0_X$. Resulta que$T$es débil-débil continuo. Esto da una respuesta afirmativa a la segunda pregunta, que a su vez da una respuesta afirmativa a la primera.

Answer 2

Esta respuesta no proporciona nada nuevo, pero creo que una explicación en términos de secuencias podría ser más clara. La cuestión de la compacidad se deriva de la continuidad de débil a débil (la implicación es válida para topologías arbitrarias), por lo que basta con mostrar lo último.

Suponer $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Entonces, para todos$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. En particular, cualquier dual de la forma$g\circ T$, dónde $g\in Y^*$, satisfará $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Pero esto es solo $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.