Topología débil Espacio de Banach con doble separable

Question

Dejar $B$ ser un espacio de Banach con doble separable y dejar $(f_n)$ ser denso y contable en $B^*$. Dejar$\tilde{\tau}$ ser la topología inicial asociada a la colección de mapas $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$.

Mi pregunta es$\tilde{\tau}$ la topología débil estándar en $B$?

Mi intento :

Dejar $\tau$ denotar la topología débil en $B$. Obviamente,$\tau$ hace todo el $f_n$es continuo. Siendo$\tilde{\tau}$ el más pequeño al hacerlo, $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$

Por el contrario, traté de razonar sobre la base de tales topologías. Arreglar arbitrario$x_0 \in B$, $\epsilon >0$ y $g_1,...,g_N \in B^*$ y recuerda que $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ es barrio abierto de $x_0$ en $\tau$. Para concluir, basta con mostrar que existe un barrio abierto$\tilde{U}$ de $x_0$ en $\tilde{\tau}$ así que eso $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$.

Mi conjetura es pagar algo $\tilde{\epsilon}$ al requerir $f_{n_i} \approx g_i$ para todos $i=1,..,N$ y definir $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$, pero estoy luchando para delimitar el término $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ uniformemente en $x$.

Answer 1

Si $(f_n)$ se supone que es denso en la norma de $B^{*}$entonces esto es bastante fácil. Dejar$f \in B^{*}$. Allí existe$n_1<n_2<...$ tal que $\|f_{n_i}-f\| \to 0$. Esto implica que$f_{n_i} \to f$ uniformemente en cualquier bola en $B$. Desde cada uno$f_{n_i}$ es wrt continuo $\overline {\tau}$ resulta que $f$ es también wrt continua $\overline {\tau}$. Así cada$f \in B^{*}$ es wrt continuo $\overline {\tau}$. Por lo tanto$\tau \subset \overline {\tau}$.