Torsión y esfuerzo de flexión calculado a partir de la deflexión
Necesito ayuda para verificar un cálculo que hice. Quiero saber si es posible usar este método o si estoy usando una suposición incorrecta. Déjame explicarte el problema, una viga con longitud$l$se sujeta en un extremo. Una fuerza$F$ un momento $M_v$se aplica al final de la viga, consulte la figura siguiente. La viga tiene una sección transversal circular. Debido a la fuerza, el extremo de la viga deformará una longitud$\delta$. Solo se conoce la deflexión y los parámetros geométricos, como la longitud y el diámetro.
Usando la teoría de la viga de Euler-Bernoulli, la deflexión se puede expresar como:
$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$
Dónde $E$ es el módulo de Young del material y $I$ la inercia, que es $I=\frac{\pi d^4}{64}$para una sección transversal circular. Aquí$d$ es el diámetro de la viga.
Insertar la inercia en (1) y reorganizarla como una expresión de $F$ da:
$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$
Esto se puede insertar en la fórmula general para la máxima tensión de flexión en una sección transversal.
$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$
Aquí la resistencia a la flexión para una sección transversal circular ya se ha insertado en la fórmula y el momento de flexión se ha reemplazado por el momento máximo que es $Fl$.
Esta es la parte de la que no estoy tan seguro, utilizo la fuerza de (2) y la inserto en (3) para obtener la máxima tensión. Por favor, avíseme si esto es posible o si estoy cometiendo un error.
Además, el esfuerzo cortante se puede calcular a partir de $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ dónde $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$, que es la resistencia a la torsión del material. Luego procedo a utilizar el criterio de rendimiento de von Mises para obtener una estimación de la tensión máxima en el material.
$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$
Como pregunté antes, me interesa principalmente si esta es una forma posible de proceder para resolver este problema o si estoy usando algunos métodos / suposiciones que son incorrectos.
Respuestas
En general, lo que estás haciendo está bien. Suponiendo que tiene deflexiones lo suficientemente pequeñas (ya sea por flexión o por torsión), puede resolver los problemas de forma independiente. Es decir:
- Calcule la Fuerza requerida para obtener la flexión exactamente como lo hizo. $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
- Calcule la magnitud del esfuerzo cortante.
Advertencias
Sin embargo, a partir de ese momento hay algunas salvedades. Respecto a:
a) flexión : la magnitud máxima de la tensión normal que está calculando está en la parte superior e inferior de la viga. Cualquier punto del eje neutro debe tener una magnitud cero.
b) cortante torsional : la magnitud a la distancia$\frac d 2$es constante pero la dirección cambia. ver la siguiente imagen:
la magnitud de la tensión de torsión máxima es correcta:
$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$
c) Cizalla : aunque generalmente se descarta, también existe una tensión de$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$. Normalmente, eso es muy pequeño, pero también tiene una dirección constante (hacia abajo en esta ocasión).
El punto que debe tomar es que debe agregar como vectores $\tau_s$ y $\tau_t$. Por lo tanto, en diferentes puntos del material, tendrías diferentes valores. Dada la imagen 1 y tomando los puntos A, B, C, D en sentido antihorario, el esfuerzo cortante resultante será:
- en el punto más a la derecha (el punto A (+ x, y = 0) será $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$.
- en el punto más alto (el punto B (x = 0, + y) será $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
- en el punto más a la izquierda (el punto C (-x, y = 0) será $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$.
- en el punto más inferior (el punto D (x = 0, + y) será $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$.
Estrés máximo
Entonces, lo principal es con respecto a su ecuación de Von Mises. ¿A qué valores se conecta?$\sigma$ y $\tau$.
Debería pasar por cada punto y aplicar el estrés correspondiente:
- Punto A, uso $\sigma_{A} = 0$ y $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
- Punto B (y D), utilice $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ y $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
- Punto C, uso $\sigma_{A} = 0$ y $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$
Desafortunadamente, estos no son los únicos puntos que debe verificar. Por ejemplo, debe marcar al menos al$\pm 135$ grados (en esa cuadratura en la imagen $\tau_s $ y $\tau_t$no se cancelen entre sí). Pero esa es la idea.