Triángulo con el área como máximo$\frac{7}{12}$.
Supongamos que hay$75$puntos dentro de un cubo unitario tal que no hay tres puntos colineales. Demostrar que es posible elegir tres puntos de los dados arriba que formen un triángulo con el área como máximo$\frac{7}{12}$. ¿Cómo es posible obtener el área del triángulo a partir de estos datos dados? Por favor ayuda. Gracias por adelantado.
Respuestas
Divide el cubo unitario en 27 cubos de tamaño$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.
Por el principio del casillero, uno de estos cubos contiene 3 de los 75 puntos. De la condición dada, estos puntos no son colineales. Entonces forman un triangulo
En un cubo de lado$a$, el área máxima de un triángulo que puede caber en él es$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.
para lado$\frac{1}{3}$, esto es$\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$
Por lo tanto, estos tres puntos forman un triángulo de área menor que$\frac{7}{12}$
elegir puntos$(0,0,0)$y$(1,1,z)$y$(1,1,0)$. El area de este triangulo es$\frac{z}{\sqrt 2}$.
ahora elige$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$
Hay infinitas formas de colocar los 72 puntos restantes, por lo que debería haber formas de hacer que los 3 puntos no sean no colineales.
Los puntos restantes pueden, por ejemplo, estar en el plano$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$y formar una forma circular.