Truco corto para encontrar el número de subgrupos p de Sylow en grupos de permutación. [duplicar]

Question

Lo sé, $|S_4 |=24 =2^3\cdot3$.

Así que aquí el orden de Sylow $2$ subgrupo es $8$ y por el tercer teorema de sylow podemos decir el número de sylow $2$ subgrupos es $1$ o $3$. Luego, al encontrar el sylow$2$ subgrupos explícitamente podemos concluir que su $3$. Pero aquí también conocemos el número de sylow$3$ subgrupos es $1$ o $4$.

Mi pregunta es ¿podemos encontrar el número exacto de sylow? $2$ y $3$ subgrupos sin calcular los subgrupos sylow explícitamente, simplemente contando los elementos de los subgrupos, porque a veces solo necesitamos el número exacto de subgrupos sylow?

Answer 1

Suponer $S_4$ tiene un Sylow único $2$-subgrupo dice $K$. Según el segundo teorema de Sylow,$K$ debe ser normal en $S_4$. Pero$S_4$ no tiene ningún subgrupo normal de orden $8$(Consulte aquí ). Por lo tanto, el número de Sylow$2$-subgrupos en $S_4$ deben ser tres.