Un cálculo en el campo de las funciones racionales.

Question

En Dummit y Foote 3 ed., Capítulo 14, Sección 2, Ejercicio 30, me preguntan lo siguiente:

Dejar $ k $ ser un campo, $ k(t) $ el campo de funciones racionales en la variable $ t $. Definir los mapas$ \sigma $ y $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ por $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ para $ f(t) \in k(t) $. Demuestre que el campo fijo de$ \langle \tau \rangle $ es $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $, el campo fijo de $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ es $ k(t(1-t)) $; determinar el campo fijo de$ \langle \tau \sigma \rangle $ y $ \langle \sigma \rangle $.

La única parte de esto con la que estoy luchando es el campo fijo de $ \langle \sigma \rangle $. Llame a este campo fijo$ E = k(s) $, dónde $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $es una función racional. Tenga en cuenta que estoy asumiendo aquí que$ E $ es de la forma $ k(s) $, y hasta ahora no puede justificar esto a priori . He mostrado en un ejercicio anterior del último capítulo que$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $, entonces, desde $ k(t)/k(s) $ es una extensión de Galois$k(s)$ siendo el campo fijo de un subgrupo de automorfismos), espero $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ Todo lo que he podido lograr en este punto fue la resolución de ecuaciones de fuerza bruta por computadora, estableciendo $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ y resolviendo las ecuaciones resultantes de $ \sigma s = s $. De ese modo encontré el elemento$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $. Por tanto, me inclino a concluir que$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ es el campo fijo de $ \langle \sigma \rangle $. Este enfoque parece poco elegante y me gustaría saber qué herramientas podría haber utilizado para evitar una búsqueda informática poco satisfactoria y opaca.

Answer 1

por $G$ un subgrupo finito de $Aut(k(t)/k)$ entonces el subcampo fijo es $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ dónde $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$.

Luego toma cualquier coeficiente no constante $a_m(t)$, porque cada uno $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ es una transformación de Möbius, obtenemos que $a_m(t)$ tiene como máximo $|G|$ polos contados con multiplicidad (incluido el polo en $\infty$), así $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ lo que implica que $$k(t)^G=k(a_m(t))$$

Editar por OP: para este problema, la técnica produce el elemento $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $, reificando los cálculos de la computadora.