Un corolario de la desigualdad de Doob para los submartingales generales
He estado intentando probar el siguiente resultado:
Dejar $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$ser una submartingala o supermartingala. Utilice la desigualdad de Doob y la descomposición de Doob para demostrar que, para todos$n \in \mathbb N$ y $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ dónde $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
La versión de la desigualdad de Doob que estamos usando es la que para cualquier $p \geq 1$, $\lambda > 0$y martingala o submartingala positiva $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Basta probar este resultado cuando $X$es una submartingala. Usando la descomposición de Doob$X = M+A$, $M$ una martingala y $A$ un proceso cada vez más predecible con $A_0 = 0$ (entonces $A$es una submartingala positiva), de hecho se puede mostrar una desigualdad más fuerte. De hecho, desde$A$ es positivo y creciente, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. Y desde$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ de lo que se sigue que $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ Usando estas desigualdades, se sigue que \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Mi pregunta es doble:
- ¿Hay algún error en este argumento, como una falla en mis suposiciones o una suposición injustificada que no estoy notando? Y si no,
- ¿Hay alguna razón por la que el libro que estoy usando (Teoría de la probabilidad de Klenke : un curso completo ) usa los coeficientes$12$ y $9$ Más bien que $9/2$ y $6$? ¿Es el resultado declarado de alguna manera más clásico o más fácil de mostrar usando propiedades más fundamentales de martingalas y la descomposición de Doob?
Este problema también se discutió aquí , pero este hilo realmente no aborda la aparente arbitrariedad de los coeficientes$12$ y $9$. ¿Alguien puede proporcionar alguna información?
Respuestas
Esto es solo un fragmento de una respuesta porque no menciono su prueba o las técnicas que usa, pero es demasiado largo para un comentario. Mi intuición es que los coeficientes son arbitrarios porque no son óptimos. Aquí hay una posible mejora, que tomo del libro Brownian Motion, Martingalas, and Stochastic Calculus de Jean-François Le Gall (p.263)
Desigualdad máxima Si$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una supermartingala entonces para todos $\lambda>0$ y $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Prueba (no en el libro). Reparar$\lambda>0$ y $k\in\mathbb{N}$. Dejar$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Definir el tiempo de parada$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$y nota que $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Ya que$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una supermartingala $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Ahora deja $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ y $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Tenemos$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Reorganizar y sumar las dos desigualdades da $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ Por cierto, también probamos que un límite superior aún mejor es $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.