Un límite con un arctan

Question

Necesito calcular otro límite $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

No tengo idea de cómo empezar o qué hacer porque nunca antes había tratado con un arctan en un límite.

¿Qué debo hacer primero?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, entonces $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, como $\tan x$ y $\arctan x$ son funciones inversas entre sí para $x \in [0, \pi/2)$.

El resto es solo sustitución directa. Deberías conseguir:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

En primer lugar: ¡que no cunda el pánico! :-)

Hay una bonita identidad para el arcangente: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ Dado que el límite es para $x\to\infty$, no es restrictivo asumir $x>0$, entonces $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ y, ajuste $y=1/x$, el límite se vuelve $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ que no es una forma indeterminada porque es $1^0=1$.