Un problema de geometría difícil que involucra divisiones armónicas

Question

Deje triangulo agudo $ABC$. Dejar$A_1$ y $A_2$ las intersecciones del círculo de diámetro $(BC)$ y la altitud de $A$ a $BC$ ($A_1$ está más cerca de $A$ que $A_2$). Definir puntos de manera similar$B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Dejar$A'$ la intersección de $B_1C_2$ y $B_2C_1$. Definir puntos de manera similar$B'$ y $C'$. Pruebalo$AA'$, $BB'$ y $CC'$ concurrir.

Mi idea: tal vez ayude ver eso $(A,H;A_1,A_2)$ (dónde $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$) es una división armónica. también$H$ es el centro radical de los 3 círculos dibujados, entonces $B_1C_1B_2C_2$es cíclico (por potencia de un punto). Es obvio por la figura que$A'$ debe acostarse sobre $BC$. Pero no sé cómo demostrarlo. ¿Podrías ayudarme? ¡Gracias por adelantado!

Si ayuda, el problema proviene de un libro rumano sobre divisiones armónicas, pero se omite la solución.

Answer 1

Resolvemos el problema usando coordenadas trilineales. La altitud$AD$ es el conjunto de puntos cuyas coordenadas $x:y:z$ satisfacer $$y\cos B=z\cos C$$ El circulo con diametro $BC$ se define análogamente, los puntos que satisfacen $$yz=x(x\cos A-y\cos B-z\cos C)$$ (Ver https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=coo.31924059323034&view=1up&seq=344 para la referencia.) Configuración arbitraria $x=1$ (dado que las coordenadas trilineales son proporciones) y luego resolviendo para $y,z$ nos da las coordenadas de $A_1$ y $A_2$: $$A_{1,2}=1: -\cos C\pm\sqrt{\frac{\cos C}{\cos B}(\cos A+\cos B\cos C)}: -\cos B\pm\sqrt{\frac{\cos B}{\cos C}(\cos A+\cos B\cos C)}$$ El signo más da $A_1$ y el signo menos da $A_2$; $B_1,B_2,C_1,C_2$ se puede obtener permutando cíclicamente $A,B,C$ en la ecuación anterior.

Ahora asocia el vector $(u,v,w)^T$con el punto en las coordenadas$u:v:w$y la linea $ux+vy+wz=0$. Es bien sabido que la recta que pasa por puntos$P_1$ y $P_2$ es $(\mathbf P_1×\mathbf P_2)\cdot(x,y,z)^T=0$ y que la intersección de líneas $l_1$ y $l_2$ es $\mathbf l_1×\mathbf l_2$. Basado en esto, la intersección de las líneas$B_1C_2$ y $C_1B_2$ es $$A'=(\mathbf B_1×\mathbf C_2)×(\mathbf C_1×\mathbf B_2)$$ $$=0:(\cos A\cos C+\cos B)\sqrt{\cos C(\cos A\cos B+\cos C)}:(\cos A\cos B+\cos C)\sqrt{\cos B(\cos A\cos C+\cos B)}$$ Así $A'$ Miente en $BC$como sospechabas. La línea$AA'$ entonces tiene vector normal $\mathbf l_A=\mathbf A'×(1,0,0)^T$, y de manera similar para $\mathbf l_B=BB'$ y $\mathbf l_C=CC'$ permutando cíclicamente $A,B,C$; el determinante de la matriz formada por estos tres vectores es $$\begin{vmatrix}\mathbf l_A&\mathbf l_B&\mathbf l_C\end{vmatrix}=0$$ De ahí las líneas $AA',BB',CC'$ concurren, como era necesario mostrar, en el punto con coordenadas trilineales $$X=\sqrt{1+\frac{\cos B\cos C}{\cos A}}:\sqrt{1+\frac{\cos C\cos A}{\cos B}}:\sqrt{1+\frac{\cos A\cos B}{\cos C}}$$ $$=\frac1{a\sqrt{b^2+c^2-a^2}}:\frac1{b\sqrt{c^2+a^2-b^2}}:\frac1{c\sqrt{a^2+b^2-c^2}}$$ $$=\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$$

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Aquí está el código SymPy que utilicé para derivar todas las expresiones anteriores:

#!/usr/bin/env python3
from sympy import *
cA, cB, cC = symbols('cA cB cC', positive=True) # cos A, cos B, cos C
x, y, z = symbols('x y z', real=True)

def cycB(p): # ABC -> BCA
    q = p.subs({cA: cB, cB: cC, cC: cA}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[2], q[0], q[1]])
def cycC(p): # ABC -> CAB
    q = p.subs({cA: cC, cB: cA, cC: cB}, simultaneous=True)
    return Matrix([q[1], q[2], q[0]])

f1 = y*cB - z*cC
f2 = cA - y*cB - z*cC - y*z
sols = solve([f1, f2], [y, z])
A1 = Matrix([1, sols[1][0].expand(), sols[1][1].expand()])
A2 = Matrix([1, sols[0][0].expand(), sols[0][1].expand()])
print("A1 =", A1)
print("A2 =", A2)
B1 = cycB(A1)
B2 = cycB(A2)
C1 = cycC(A1)
C2 = cycC(A2)
Ap = simplify(  B1.cross(C2).cross(B2.cross(C1))  ) # A'
Ap *= sqrt(cA*cB*cC)/2
print("A' =", Ap)
lA = Ap.cross(Matrix([1, 0, 0]))
lB = cycB(lA)
lC = cycC(lA)
D = Matrix([lA.T, lB.T, lC.T])
pprint(D)
print("det(D) =", D.det()) # 0

X = D.nullspace()[0] * sqrt(cA*cB + cC) / sqrt(cC)
a, b, c = symbols('a b c', positive=True)
X = X.subs(cA, (b**2+c**2-a**2)/(2*b*c))
X = X.subs(cB, (c**2+a**2-b**2)/(2*c*a))
X = X.subs(cC, (a**2+b**2-c**2)/(2*a*b))
Delta = sqrt(-(a - b - c)*(a - b + c)*(a + b - c))*sqrt(a + b + c)/sqrt(2) # area of triangle
X = factor(X, deep=True) / Delta
print("X =", X.simplify())