Una biyección canónica de vectores lineales independientes a funciones de estacionamiento

Question

Llamar a un $n$-vector $v$ en $\mathbb{Z}^n$cool cuando solo tiene entradas 0 o 1 y las que aparecen en un solo bloque. Por lo tanto hay$n(n+1)/2$tales vectores. por$n=3$ son:

[<[1, 0, 0]>, <[1, 1, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>, <[0, 1, 1]> , <[0, 0, 1]>].

Dejar $X_n$ ser el conjunto de lo genial $n$-vectores. Llamar a un subconjunto$U \subset X_n$ genial cuando $U$ tiene $n$elementos linealmente independientes. Debería haber$(n+1)^{n-1}$ subconjuntos geniales de $X_n$. por$n=3$ son:

[[<[1, 0, 0]>, <[1, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[1, 1, 0]>, <[0, 1, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[1, 1, 0]>, <[0, 0, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[0, 1, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[0, 0, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[1, 1, 1]>, <[0, 0, 1]>],

[<[1, 0, 0]>, <[0, 1, 1]>, <[0, 0, 1]>],

[<[1, 1, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>],

[<[1, 1, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[0, 1, 1]>],

[<[1, 1, 0]>, <[0, 1, 0]>, <[0, 0, 1]>],

[<[1, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>, <[0, 1, 1]>],

[<[1, 1, 0]>, <[0, 1, 1]>, <[0, 0, 1]>],

[<[0, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>, <[0, 1, 1]>],

[<[0, 1, 0]>, <[1, 1, 1]>, <[0, 0, 1]>],

[<[1, 1, 1]>, <[0, 1, 1]>, <[0, 0, 1]>]]

Pregunta: ¿Existe una biyección canónica de subconjuntos geniales de $X_n$ a las funciones de estacionamiento (que se cuentan por el mismo número $(n+1)^{n-1}$)?

Trasfondo: Los vectores fríos corresponden a las representaciones indescomponibles del $A_n$álgebra de carcaj $A$ y los subconjuntos geniales de las bases del grupo Grothendieck $K_0(A)$ de $A$. Estoy interesado en una biyección "canónica" de las funciones de estacionamiento para ingresar algunas estadísticas del álgebra homológica en findstat: findstat.org que tiene varias estadísticas y mapas para las funciones de estacionamiento. Realmente no puedo decir qué significa canónico, pero debería comportarse bien bajo algunas estadísticas estándar del álgebra homológica. Por ejemplo, para una biyección canónica de este tipo, el número de vectores simples (aquellos que tienen solo una entrada distinta de cero) o el número de vectores proyectivos (aquellos que tienen la última entrada distinta de cero) en U probablemente debería corresponder a algo bueno para las funciones de estacionamiento.

Answer 1

Están en biyección canónica con los árboles de expansión del gráfico completo. $K_{n+1}$ (por lo que son bien conocidas las biyecciones con funciones de estacionamiento).

De hecho, deja $K_{n+1}$ ser el gráfico completo sobre el terreno $\{0,1,\ldots,n\}$. Denotar$f_0=0$ y considerar $n$ vectores linealmente independientes $f_1,\ldots,f_n$. Denotar más$e_j=f_j-f_{j-1}$ para $j=1,\ldots,n$. Forman otra base del mismo$n$-espacio dimensional $W$ como $f_j$s. Por una ventaja$\epsilon=ij$, $i<j$, de $K_n$ consideramos el vector $w(\epsilon)=f_j-f_i=e_{i+1}+\ldots+e_j$. Tenga en cuenta que$n$ bordes $w(\epsilon_1),\ldots,w(\epsilon_k)$ son linealmente independientes si y solo si el conjunto de aristas $\epsilon_i$no contiene ciclos. Así, las bases de$W$ corresponden a árboles de expansión de $K_{n+1}$.

La construcción anterior es una representación vectorial estándar de la matriz del circuito.

Answer 2

Consulte "Una acción de grupo trenzado sobre las funciones de estacionamiento" de Gorsky y Gorsky .