Una ecuación diferencial integrable no lineal
Estoy tratando de resolver una pregunta de un tutorial de matemáticas para físicos que nunca se hizo debido a la pandemia, por lo que no sé la respuesta ni el método adecuado para resolverla. Sin embargo, aquí está la pregunta y mi intento de resolverla. Comentarios, sugerencias sobre cómo abordarlo y recomendaciones de lecturas adicionales serían muy apreciadas.
Sea la ecuación de movimiento:$$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$y,$$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$dónde$V(x)$es un potencial derivable conocido y$E$es independiente de$t$.
- Por integración de la ecuación que da$\dot{x}$, Expresar la solución con la condición inicial$x(t_0)=x_0$en forma de t(x).
De la ecuación$(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
Tomando la raíz positiva y de la condición inicial sabemos$Cste=-t_0$
$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$2. Sea un potencial creciente en el infinito:$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$dónde$C>0$y$a>0$. Consideramos una partícula de velocidad inicial$v_0>0$. Dar el comportamiento asintótico de$x(t)$cuando$E>0$y$E=0$.
Intenté sustituir la expresión de$V(x)$en el infinito en la integral:$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$Estaba tratando de convertirlo en forma de$\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$por sustitución pero se me ha hecho evidente que no es posible tal vez no se me permite sustituir directamente la expresión de$V(x)$en el infinito
También creo que hay una forma de evitar esta pregunta sin tener que calcular la integral, pero parece que no puedo encontrar una. Espero que alguien pueda ayudarme.
Respuestas
Creo que respondió correctamente a la primera pregunta, sin embargo, el problema con la segunda pregunta surge del hecho de que está tratando de obtener la antiderivada, lo que en mi opinión es muy difícil. Aquí está mi enfoque:
supongamos que x está cerca del infinito, entonces tenemos,$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
Reemplacemos esto en la ecuación$(1)$e integrarlo:$$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$entonces tenemos:$$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$además,$$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$dejar$D=a(2a+2)(2a+3)$,$$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$reemplazando esto en la ecuacion$(2)$ya que queremos presentar$E$en la solución para estudiar el comportamiento asintótico:
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
Aquí hay un gráfico de$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$(dónde$a$y$Z$son constantes) para darle una mejor idea. Juega con los controles deslizantes para ver el comportamiento de la función.
Podemos ver en el gráfico que si$E=0$una partícula en la posición$x_1$comienza a acercarse$x=0$, que podemos considerar como el origen del potencial, tarda una cantidad infinita de tiempo en llegar allí (para la mayoría de los propósitos prácticos, podemos considerar que se detiene). Y si$E>0$Ocurre lo mismo pero la brecha aumenta, lo que significa que la partícula se detiene asintóticamente antes de llegar al origen.