Una forma diferencial cuyo apoyo se encuentra en una vecindad tubular de $T^k\times \{0\}^{n-k}\subset T^n$
Dejar $\alpha$ ser una forma diferencial en el toro $T^n$ cuyo apoyo $\mathrm{supp}(\alpha)$ está contenido en un pequeño vecindario del subtoro $T^k\equiv T^k\times \{0\}^{n-k}$.
Pregunta: Suponga$\alpha$es cerrado o incluso armónico con respecto a alguna métrica. Me preguntaba si la clase de cohomología de De Rham$[\alpha]\in H^*_{dR}(T^n)$ tiene que vivir en la imagen del retroceso $H^*_{dR}(T^k)\to H^*_{dR}(T^n)$ inducida por la proyección $T^n\to T^k$.
En realidad, primero pensé en la siguiente pregunta: si $S$ es una cadena / ciclo singular cuya imagen está contenida en un pequeño barrio de $T^k$, entonces tenemos $[S]\in H_*(T^n)$ debe estar en la imagen de $H_*(T^k)\to H_*(T^n)$? La respuesta a esto debería ser positiva, ya que podemos retractarnos continuamente$S$ dentro $T^k$. Pero en la teoría de la cohomología como antes, me confundo.
Por simplicidad uno puede asumir $k=1$ y $n=2$. Para mayor generalidad, podemos considerar un par de colectores lisos (compactos)$N\subset M$ en lugar del toro $T^k\subset T^n$.
Respuestas
Por compacidad, $\operatorname{supp}(\alpha)\subset T^k\times B^{n-k}$, dónde $B^{n-k}\subset T^{n-k}$es una pequeña bola abierta. Entonces$[\alpha]$ está en la imagen de $H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k})\to H^*_{dR}(T^n)$. Por la fórmula de Künneth y la escisión,$$ H^*_{dR}(T^n,T^n\setminus T^k\times B^{n-k}) \cong H^*_{dR}(T^k)\otimes H^*_{dR}(\overline{B^{n-k}},\partial B^{n-k})\;.$$ El segundo factor solo tiene cohomología en grado $n-k$, generado por, digamos $[\omega]$. La imagen de$[\omega]$ en $H^{n-k}(T^{n-k})$es un generador también. Entonces existe un único$\beta\in H^*_{dR}(T^k)$ tal que $$[\alpha]=[\beta]\otimes[\omega]\;.$$
De manera más general, dejemos $N\subset M$ ambos sean compactos y dejen $N$ tener paquete normal orientable $\nu$. Si$U\subset M$ es un barrio tubular de $N$ con $\operatorname{supp}(\alpha)\subset U$, luego $U$ es difeomorfo a $\nu$ y $[\alpha]$ está en la imagen de $$H^*_{dR}(N)\stackrel\Theta\longrightarrow H^*_{dR}(M,M\setminus U)\longrightarrow H^*_{dR}(M)\;,$$ dónde $\Theta$es el isomorfismo de Thom para el haz normal (seguido de escisión). Esta composición a veces se denota$\iota_!$ ($\iota\colon N\to M$es la inclusión). Sube el grado por el rango del paquete normal.
Si ambos $N$ y $M$ están orientados, entonces también lo está $\nu$y uno puede describir $\iota_!$ conjugando el empuje hacia adelante $\iota_*$ en homología con la dualidad de Poincaré en $N$ y $M$.