Una función dos veces diferenciable que satisface una ecuación diferencial
La pregunta es :
Dejar$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ser función dos veces diferenciable satisfactoria
$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $dónde$g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$
¿Cuál de las siguientes es \ son verdaderas?
$(1)$Si$f(0)=f'(0)=1$, después$f(3)\lt 3$
$(2)$Si$f(0)=f'(0)=2$, después$f(4)\lt 4$
$(3)$Si$f(0)=f'(0)=3$, después$f(3)=5$
$(4)$Si$f(0)=f'(0)=3$, después$f(3)=6$
Mis pensamientos:-
Primero hablaré sobre$(3)$y$(4)$
Dejar$g(x)=0$
Luego, con algunos cálculos, podemos mostrar
$f(x)=3(\sin x+\cos x)$como un candidato adecuado para descartar$(3)$y$(4)$
Aquí, para la opción$(3)$
$f(3)=5$
$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$
Al cuadrar ambos lados
$1+\sin 6=\frac{25}9$
$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, una contradicción
Similarmente$f(3)= 6$dará la contradicción
$\sin 3+\cos 3=2$( Insinuando$\sin 3=\cos 3=1$lo cual es un imposible).
Así nos quedamos con$(1)$y$(2)$
Nota: Una ligera variante del ejemplo anterior satisface la condición en$(1)$y$(2)$
Lo intenté con ejemplos simples como$g(x)=1 $y$f(x)=x$o como cuadráticos pero no pudo llegar a conclusiones.
por favor ayuda con las opciones$(1)$y$(2)$. Gracias por tu tiempo.
Respuestas
Considere la función de energía$E=f(x)^2+f'(x)^2$. Después$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$de modo que$E$está cayendo a lo largo de las soluciones. Por lo que puedo ver, esto implica que 1) y 2) son verdaderos.
En 1)$f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$y de manera similar en 2)$f(x)\le\sqrt8<4$. De la misma manera que entras en 3) y 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, por lo que nunca se pueden alcanzar los valores dados.