Una función dos veces diferenciable que satisface una ecuación diferencial

Aug 18 2020

La pregunta es :

Dejar$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ser función dos veces diferenciable satisfactoria

$f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x), x\in \mathbb{R} $dónde$g(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}$

¿Cuál de las siguientes es \ son verdaderas?

$(1)$Si$f(0)=f'(0)=1$, después$f(3)\lt 3$

$(2)$Si$f(0)=f'(0)=2$, después$f(4)\lt 4$

$(3)$Si$f(0)=f'(0)=3$, después$f(3)=5$

$(4)$Si$f(0)=f'(0)=3$, después$f(3)=6$

Mis pensamientos:-

Primero hablaré sobre$(3)$y$(4)$

Dejar$g(x)=0$

Luego, con algunos cálculos, podemos mostrar

$f(x)=3(\sin x+\cos x)$como un candidato adecuado para descartar$(3)$y$(4)$

Aquí, para la opción$(3)$

$f(3)=5$

$\Rightarrow \sin 3+\cos 3=\frac 53$

Al cuadrar ambos lados

$1+\sin 6=\frac{25}9$

$\sin 6=\frac {16}9 \gt 1$, una contradicción

Similarmente$f(3)= 6$dará la contradicción

$\sin 3+\cos 3=2$( Insinuando$\sin 3=\cos 3=1$lo cual es un imposible).

Así nos quedamos con$(1)$y$(2)$

Nota: Una ligera variante del ejemplo anterior satisface la condición en$(1)$y$(2)$

Lo intenté con ejemplos simples como$g(x)=1 $y$f(x)=x$o como cuadráticos pero no pudo llegar a conclusiones.

por favor ayuda con las opciones$(1)$y$(2)$. Gracias por tu tiempo.

Respuestas

1 LutzLehmann Aug 19 2020 at 14:31

Considere la función de energía$E=f(x)^2+f'(x)^2$. Después$$ \frac{d}{dx}E=2f'(x)(f''(x)+f(x))=-2xg(x)f'(x)^2 $$de modo que$E$está cayendo a lo largo de las soluciones. Por lo que puedo ver, esto implica que 1) y 2) son verdaderos.

En 1)$f(x)\le\sqrt{E(x)}\le\sqrt{E(0)}=\sqrt2<3$y de manera similar en 2)$f(x)\le\sqrt8<4$. De la misma manera que entras en 3) y 4)$f(x)\le\sqrt{18}<5$, por lo que nunca se pueden alcanzar los valores dados.