Una pregunta en definición de producto de familia en categoría
Estoy estudiando categorías de Álgebra por Thomas Hunger Ford y tengo una pregunta sobre la definición de categorías:
Mi pregunta es: ¿Qué quiere decir el autor con ese diagrama es conmutativo?
No tengo ni idea de lo que significa, aunque la definición $7.2$ dado arriba es absolutamente entendido.
Por favor, diga lo que el autor quiere decir con eso.
Respuestas
Básicamente, lo que quieren decir es que cada triángulo del diagrama representa un conjunto de composiciones e igualdades de morfismo. Por ejemplo,
Este diagrama en particular implica que $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Igualmente:
Este diagrama implica $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$.
Cada uno de estos triángulos se considera un diagrama conmutativo, y también decimos que el diagrama hecho al "romperlos" juntos (como se le mostró originalmente) también es conmutativo.
De manera más general: en un diagrama conmutativo, cualquier camino que tome desde los mismos puntos de inicio y final representa una igualdad de algún tipo (en la teoría de categorías, las igualdades se refieren a la composición del morfismo). El primer triángulo toma dos caminos desde$B$ a $A_1$ por ejemplo: uno directamente allí a través de $\varphi_1$ y el otro va a $P$ vía $\varphi$y luego a$A_1$ vía $\pi_1$. Por lo tanto, afirmamos$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$. Lo mismo ocurre con el otro diagrama y los diagramas conmutativos en general.
Es una buena intuición visual de cómo funcionan estas cosas y cómo se pueden ver, utilizar y manipular las igualdad.
Puede encontrar más ejemplos, diagramas y explicaciones en el artículo de Wikipedia aquí .
Un diagrama es conmutativo si, cuando miramos todas las flechas que genera, es decir, todas las flechas que se pueden formar componiendo flechas en el propio diagrama, solo vemos una flecha entre dos objetos.
Por ejemplo, supongamos que estamos viendo la categoría Conjuntos . Considere los objetos$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$, y el diagrama de "triángulo" que consta de flechas $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$Este diagrama no es conmutativo: además de las flechas explícitamente presentes$f,g,h$ ellos mismos, también tenemos la flecha "generada" $g\circ f$. Tiene el mismo dominio y codominio que$h$, pero es diferente de $h$.
Más ágilmente:
Los triángulos conmutativos son exactamente instancias de composición de flechas: flechas dadas$f,g,h$ dónde $g\circ f$ está definido y tiene el mismo origen y destino que $h$, el triángulo formado por $f,g,h$ es conmutativo iff $g\circ f=h$.
Por supuesto, existen diagramas conmutativos más complicados. Los cuadrados de desplazamiento aparecen con frecuencia (ver, por ejemplo, "cuadrados de retroceso"): básicamente, estos corresponden a situaciones en las que tenemos flechas$f_1,f_2,f_3,f_4$ tal que $f_1$ y $f_2$ tienen la misma fuente, y $f_3$ y $f_4$ tienen el mismo objetivo, y las composiciones $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ son (definidos y) iguales.