Una pregunta sobre el espacio métrico definido en$\mathbb{Q}$.
Considerar$\mathbb{Q}$sea el conjunto de todos los números racionales. definido$d(p,q)=|p-q| $. Entonces, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$está cerrado.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$está cerrado.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$es compacto
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$es compacto
Así que estaba pensando en ello, donde la opción 4. no es verdadera porque esto no está acotado. Entonces, no compacto se sigue de la ilimitación. Entonces, si podemos mostrar que aquí el conjunto en 4. Y creo que ningún 1. está cerrado, ya que su complemento es$\mathbb{Q}$unión algunos abiertos fijados en$\mathbb{R}$.
Para la otra declaración, podemos usar el criterio general de que "Un espacio métrico es compacto si es completo y totalmente acotado". Pero necesito ayuda para hacer esto.
Respuestas
Podemos escribir 1. como$\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$que es un conjunto abierto real (los intervalos abiertos son abiertos) intersecado con$\Bbb Q$, por lo que ese conjunto está abierto en$\Bbb Q$. también está cerrado$\Bbb Q$porque también podemos escribirlo como$\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, que está cerrado por razones similares.
2 es cerrado ya que podemos escribirlo como$\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$y como su elemento$2$no es un punto interior de ella, no está abierta .
El conjunto debajo de 3 es exactamente igual que debajo de 2, por lo que de hecho está cerrado, como vimos, por lo que podría ser compacto, ya que también está acotado. Pero de hecho no lo es, ya que podemos elegir cualquier irracional$p$"dentro" del conjunto (digamos$\sqrt{3}$hará) y encontrar una secuencia de racionales$q_n$en el conjunto que converge a$p$ en los reales (esto siempre se puede hacer). Pero entonces la secuencia$(q_n)_n$es Cauchy (es convergente en los reales después de todo) pero no convergente en$\Bbb Q$(ya que el único punto al que podría converger no se encuentra en el conjunto). Entonces el conjunto no es compacto. Una razón más profunda por la que no es compacto (que probablemente aún no haya cubierto) es que un conjunto contable compacto en un espacio métrico debe tener un punto aislado, y este conjunto no tiene ninguno. Pero la falta de completitud (o el hecho relacionado de que tenemos una secuencia sin una subsecuencia convergente) puede usarse para refutar la compacidad en un nivel más elemental.
Por 4, en todos los espacios métricos sabemos que "$A$compacto$\implies$ $A$cerrado y acotado; Heine-Borel es la implicación inversa que se cumple en subconjuntos de$\Bbb R^n$en la métrica euclidiana. La "fuerza" de esto es probar rápidamente la compacidad. Pero la implicación siempre válida se puede usar para refutar fácilmente la compacidad, y 4 es un ejemplo: no acotado, por lo que no compacto es una deducción válida en cualquier espacio métrico.
Un conjunto$A$en un espacio métrico es compacto si y sólo si cada secuencia en$A$tiene una subsecuencia convergente cuyo límite pertenece a$A$. La secuencia$\{1,2,3,..\}$es una secuencia en el conjunto dado que no tiene una subsecuencia convergente, por lo que el conjunto en 4) no es compacto.
Alternativamente, puede usar el hecho de que$\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$es una cubierta abierta del conjunto sin una subcubierta finita.